怀特海问题

怀特海问题，是群论的一个重要问题，由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环$\Lambda$上的模 $A, B, R$,投射模$P$ 以及正合列$R \rightarrow P \twoheadrightarrow A$其中第一个箭头由单同态$\mu$实现，记

$\mathrm{EXT}_{\Lambda}(A, B)=\mathrm{Hom(R,B)}/\mathrm{Im}(\mu^{*})$,

这里$\mu^*$是由 $\mu$自然导出的从$\mathrm{Hom}(P,B)$到$\mathrm{Hom}(R,B)$的同态. 如果$\Lambda$是整数环$\mathbb{Z}$, 则我们省去下标.注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模.

可以证明一个模$A$是投射模当且仅当对于所有的模$B, \mathrm{EXT}_{\Lambda}(A,B)=0$.

每一个自由模都是投射模. 同调代数中一个经典定理说如果$\Lambda$是主理想整环，那么每一$\Lambda$自由模的子模也是自由的. 特别地，整数环$\mathbb{Z}$上的所有自由模的子模都是自由的. 因为每一个投射模都是自由模的子模，所以$\mathbb{Z}$上的投射模和自由模是一致的.

怀特海问题是同调代数中一个基本问题，其表述如下:

给定阿贝尔群 A, $\mathrm{EXT}(A,\mathbb{Z})=0$当且仅当 A 是自由的.

因此怀特海问题可以看作$\mathbb{Z}$上自由模的一个判别法则.

在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群，那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果 $V=L$ (即可构成公理成立), 那么对每一个基数为$\aleph_1$的阿贝尔群，怀特海问题是对的. 同时，如果马丁公理成立并且连续统假设不成立，那么存在一个基数为$\aleph_1$的阿贝尔群使得怀特海问题是错的. 最终地, Shelah于1975年证明了如果$V=L$, 那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立.