怪獸群

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群论
Rubik's cube.svg


怪獸群英语Monster group),或稱友善巨人(the Friendly Giant)或費雪─格里斯怪獸(Fischer-Griess Monster),是一個有限單群,是26個散在群的其中之一,一般常將之記作MF1

怪獸群的是26個散在群中最大的,其目為

246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000
8 · 1053

有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。有限單群的列表包含了十八類數量為可數無限的群,以及二十六個不包含在那十八類群中、尚未為其找到一個系統化模式的「散在群」。怪獸群是那26個散在群中,目最大的群,同時除了六個群外,其餘所有的散在群都是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為怪獸群子集的群稱為「賤民」(pariahs),並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散在群。

或許對怪獸群最好的定義方式,就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群英语Fischer group的的有限單群中目最小者(怪獸群雖為散在群中目最大的,但這不表示它是所有有限單群中目最大的,其他類的有限單群中有目比其更大者存在)。

存在性與唯一性[编辑]

怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer,他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測,他們當時認為存在一個單群,該單群包含子怪獸群中做為某個對合中心化子的某個雙覆蓋。數月後,M的目被格里斯以湯普森目公式(Thompson order formula)計算出,而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商,被包含的群包括了許多已知的散在群,此外他們還發現了兩個新的單群:湯普森群原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為目為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出,然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。

怪獸群的特徵標表有194行194列,該特徵標表由費雪和李文史東(Livingstone)在1979年用一個以Thorne寫成的電腦程式算出。此計算基於其「忠實的(faithful)複數表示法(complex representation)的最小維度是196883維」這假設的,此數字是M的目的三個最大的質因數的乘積(47 · 59 · 71 = 196883)。

怪獸月光猜想[编辑]

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪獸月光猜想英语Monstrous moonshine的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關,並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。


麥凱的E8觀察[编辑]

怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram)\tilde E_8,亦存在著關係,其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯,此關聯又被稱作「麥凱的E8觀察」(McKay's E8 observation)[1][2]

子群結構[编辑]

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了極大子群的至少43個共軛類。及六十數種同構類型的非交換單群,亦包含在怪獸群中,做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數,但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的,表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含,並為其上的群的子商。圈起來的符號,表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明,多餘的包含關係在此圖中未表示。

其他[编辑]

怪獸群可被視為有理數上的一個伽罗瓦群Thompson 1984,p. 443),也可將之視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004)。

腳註[编辑]

  1. ^ Arithmetic groups and the affine E8 Dynkin diagram, by John F. Duncan, in Groups and symmetries: from Neolithic Scots to John McKay
  2. ^ le Bruyn, Lieven, the monster graph and McKay’s observation. 22 April 2009 

參照[编辑]

外部連結[编辑]