怪獸群

怪獸群（英语：Monster group），或稱友善巨人（the Friendly Giant）或費雪─格里斯怪獸（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是26個散在群的其中之一，一般常將之記作M或F₁。

怪獸群的目是26個散在群中最大的，其目為

	246 · 320 · 59 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
=	808017424794512875886459904961710757005754368000000000
≈	8 · 1053

有限單群的分類已完成(見有限單群分類一文)。有限單群的列表包含了十八類數量為可數無限的群，以及二十六個不包含在那十八類群中、尚未為其找到一個系統化模式的「散在群」。怪獸群是那26個散在群中，目最大的群，同時除了六個群外，其餘所有的散在群都是怪獸群的子集合。羅伯特‧格里斯(Robert Griess)將那六個不為怪獸群子集的群稱為「賤民」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family)一詞稱呼其他的散在群。

或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群(Conway group)和費歇爾群的的有限單群中目最小者（怪獸群雖為散在群中目最大的，但這不表示它是所有有限單群中目最大的，其他類的有限單群中有目比其更大者存在）。

存在性與唯一性

怪獸群的存在性最早在1973年為貝恩德‧費雪(Bernd Fischer，他未出版相關想法)與羅伯特‧格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M的目被格里斯以湯普森目公式(Thompson order formula)計算出，而費雪(Fischer)、康威(Conway)、諾頓(Norton)與湯普森(Thompson)等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散在群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田-諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數(一個196884維的交換非結合代數)的自同構群。約翰‧康威(John Horton Conway)和雅魁‧提次(Jacques Tits)隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明了怪獸群的存在。約翰‧湯普森(John G. Thompson)則說明了其做為目為此數的單群的唯一性可由一個196883維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在1982年為西蒙‧諾頓(Simon P. Norton)提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德(Meierfrankenfeld)和塞格夫(Segev)給出。

怪獸群的特徵標表有194行194列，該特徵標表由費雪和李文史東(Livingstone)在1979年用一個以Thorne寫成的電腦程式算出。此計算基於其「忠實的(faithful)複數表示法(complex representation)的最小維度是196883維」這假設的，此數字是M的目的三個最大的質因數的乘積(47 · 59 · 71 = 196883)。

怪獸月光猜想

怪獸群是康威(Conway)和諾頓(Norton)所提出的怪獸月光猜想的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在1992年為理查‧伯切德斯(Richard Borcherds)所證明。

麥凱的E₈觀察

怪獸群和擴張登金圖(Dynkin diagram)$\tilde E_8,$亦存在著關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的E₈觀察」(McKay's E₈ observation)

子群結構

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了極大子群的至少43個共軛類。及六十數種同構類型的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了26個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克‧羅南(Mark Ronan)所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。

其他

怪獸群可被視為有理數上的一個伽罗瓦群(Thompson 1984，p. 443)

，也可將之視為一個胡爾維茲群(Hurwitz group)(Wilson 2004)

。

參照

• J. H. Conway and S. P. Norton, Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.
• Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; and Wilson, R. A.: Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.
• Griess, Robert L., The structure of the monster simple group//Scott, W. Richard; Gross, Fletcher, Proceedings of the Conference on Finite Groups (Univ. Utah, Park City, Utah, 1975), Boston, MA: Academic Press. 1976:  113–118, ISBN 978-0-12-633650-4 
• Griess, Robert L., The friendly giant, Inventiones Mathematicae. 1982, 69 (1): 1–102, doi:10.1007/BF01389186, ISSN 0020-9910 
• Griess, Robert L; Meierfrankenfeld, Ulrich; Segev, Yoav, A uniqueness proof for the Monster, Annals of Mathematics. Second Series. 1989, 130 (3): 567–602, doi:10.2307/1971455, ISSN 0003-486X 
• Harada, Koichiro, Mathematics of the Monster, Sugaku Expositions. 2001, 14 (1): 55–71, ISSN 0898-9583 
• P. E. Holmes and R. A. Wilson, A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.
• Ivanov, A. A., The Monster Group and Majorana Involutions, Cambridge tracts in mathematics, 176, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88994-0 
• S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.
• S. P. Norton, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
• M. Ronan, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).
• M. du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).
• Thompson, John G., Some finite groups which appear as Gal L/K, where K ⊆ Q(μ_n), Journal of Algebra. 1984, 89 (2): 437–499, doi:10.1016/0021-8693(84)90228-X 
• Wilson, R. A., The Monster is a Hurwitz group, Journal of Group Theory. 2001, 4 (4): 367–374, doi:10.1515/jgth.2001.027, MR1859175 

外部連結

• MathWorld: Monster Group
• Atlas of Finite Group Representations: Monster group
• Abstruse Goose: Fischer-Griess Monster