总变差

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当绿点遍历整个函数时,绿点在y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

数学领域总变差就是一函数其数值变化的差的总和。

定义[编辑]

矢量空间[编辑]

实值函数ƒ定义在区间[ab] ⊂ 'R的总变差是一维参数曲线x → ƒ(x) , x ∈ [a,b]的弧长连续可微函数的总变差,可由如下的积分给出

 V^a_b(f) = \int _a^b |f'(x)|\, dx.

任意实值或虚值函数ƒ定义在区间[a,b]上的总变差,由

 V^a_b(f)=\sup_P \sum_{i=0}^{n_P-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |, \,

定义。其中P为区间[a,b]中的所有分划.

定义在有界区域\scriptstyle \Omega \subset \mathbb{R}^n上的实值可积函数ƒ总变差,定义为

 V(f,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega f\mathrm{div}\varphi\colon \varphi\in  C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert \varphi\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\},

其中  \scriptstyle C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)是Ω中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合,  \scriptstyle \Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}本质上确界范数

若ƒ可微,上式可简化为

V(f,\Omega) = \int\limits_\Omega\left|\nabla f\right| .

度量空间[编辑]

在一个度量空间(\Omega,\Sigma)上,集函数\mu : \Sigma \rightarrow \R,其总变差为:

|\mu|(E)=\sup_\pi \sum_{A\isin\pi} |\mu(A)|\qquad\forall E\in\Sigma

其中\piE的划分。 如果\mu符号测度,通过汉分解定理可知:

|\mu|=\mu^++\mu^-\,

可微定义的证明[编辑]

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理[编辑]

在假设条件下,下面的等式成立:

 \int\limits_\Omega f\,\mathrm{div}\varphi = -\int_\Omega\nabla f\cdot\varphi

引理证明[编辑]

高斯散度定理 \int\limits_\Omega \text{div}\mathbf R = \int\limits_{\partial\Omega}\mathbf R\cdot \mathbf n . 将\mathbf R:= f\mathbf\varphi代入,可得

 \int\limits_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) = \int\limits_{\partial\Omega}\left(f\mathbf\varphi\right)\cdot\mathbf n

由于在\Omega的边界上\mathbf\varphi = 0,从而

 \int\limits_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) =  \int\limits_{\partial\Omega}\left(f\mathbf\varphi\right)\cdot\mathbf n = 0

注意到 \text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) = f\text{div}\mathbf\varphi + \nabla f\cdot \varphi代入上式,移项即得

 \int\limits_\Omega f\,\mathrm{div}\varphi = -\int_\Omega\nabla f\cdot\varphi.

如果函数f的总变差有限,则称函数f有界变差函数.

参阅[编辑]

外部链接[编辑]

理论[编辑]

单变量

多变量

测度论

概率论

应用[编辑]