总变差

当绿点遍历整个函数时, 绿点在 y-轴上的投影红点走过的路程就是该函数的总变分.

在数学领域总变差就是一函数其数值变化的差的总和。

定义

矢量空间

实值函数ƒ 定义在区间 [a, b] ⊂ 'R 的总变差是一维参数曲线 x → ƒ(x) , x ∈ [a,b]的弧长。 连续可微函数的总变差, 可由如下的积分给出

$V^a_b(f) = \int _a^b |f'(x)|\, dx.$

任意实值或虚值函数 ƒ 定义在区间 [a,b] 上的总变差, 由

$V^a_b(f)=\sup_P \sum_{i=0}^{n_P-1} | f(x_{i+1})-f(x_i) |, \,$

定义。其中 _P 为区间 [a,b] 中的所有分划.

定义在有界区域$\scriptstyle \Omega \subset \mathbb{R}^n$上的实值可积函数 ƒ 的总变差, 定义为

$V(f,\Omega):=\sup\left\{\int_\Omega f\mathrm{div}\varphi\colon \varphi\in C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n),\ \Vert \varphi\Vert_{L^\infty(\Omega)}\le 1\right\},$

其中 $\scriptstyle C_c^1(\Omega,\mathbb{R}^n)$ 是 Ω 中的紧支集上全体连续可微向量函数构成的集合, $\scriptstyle \Vert\;\Vert_{L^\infty(\Omega)}$ 是本质上确界范数。

若 ƒ 可微, 上式可简化为

$V(f,\Omega) = \int\limits_\Omega\left|\nabla f\right| .$

度量空间

在一个度量空间 $(\Omega,\Sigma)$上，集函数$\mu : \Sigma \rightarrow \R$，其总变差为：

$|\mu|(E)=\sup_\pi \sum_{A\isin\pi} |\mu(A)|\qquad\forall E\in\Sigma$

其中$\pi$为 $E$ 的划分。 如果$\mu$是符号测度，通过汉分解定理可知：

$|\mu|=\mu^++\mu^-\,$

可微定义的证明

首先需要利用高斯散度定理证明一个等式.

引理

在假设条件下, 下面的等式成立:

$\int\limits_\Omega f\,\mathrm{div}\varphi = -\int_\Omega\nabla f\cdot\varphi$

引理证明

由高斯散度定理 $\int\limits_\Omega \text{div}\mathbf R = \int\limits_{\partial\Omega}\mathbf R\cdot \mathbf n$. 将 $\mathbf R:= f\mathbf\varphi$ 代入, 可得

$\int\limits_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) = \int\limits_{\partial\Omega}\left(f\mathbf\varphi\right)\cdot\mathbf n$

由于在 $\Omega$ 的边界上 $\mathbf\varphi = 0$, 从而

$\int\limits_\Omega\text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) = \int\limits_{\partial\Omega}\left(f\mathbf\varphi\right)\cdot\mathbf n = 0$

注意到 $\text{div}\left(f\mathbf\varphi\right) = f\text{div}\mathbf\varphi + \nabla f\cdot \varphi$ 代入上式, 移项即得

$\int\limits_\Omega f\,\mathrm{div}\varphi = -\int_\Omega\nabla f\cdot\varphi$.

如果函数 $f$ 的总变差有限, 则称函数 $f$ 为有界变差函数.

参阅

• 有界变差
• Total variation diminishing
• 总变差规则化
• 二次变差

外部链接

理论

单变量

• Boris I. Golubov (and comments of Anatolii Georgievich Vitushkin) "Variation of a function", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• "Total variation" on Planetmath.

多变量

• Comments of Anatolii Georgievich Vitushkin on the preceding article of Boris I. Golubov "Variation of a function", Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.
• Boris I. Golubov "Arzelà variation", "Fréchet variation", "Hardy variation", "Pierpont variation", "Tonelli plane variation", "Vitali variation", voices from the Springer-Verlag Online Encyclopaedia of Mathematics.

测度论

• Rowland, Todd. "Total Variation". From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
• "Jordan decomposition" on Planetmath.

概率论

• M. Denuit and S. Van Bellegem "On the stop-loss and total variation distances between random sums", discussion paper 0034 of the Statistic Institute of the "Université Catholique de Louvain".

应用

• Caselles, Vicent; Chambolle; Novaga, The discontinuity set of solutions of the TV denoising problem and some extensions, SIAM, Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 n. 3,. 2007  (a work dealing with total variation application in denoising problems for image processing).

• Tony F. Chan and Jackie (Jianhong) Shen (2005), Image Processing and Analysis - Variational, PDE, Wavelet, and Stochastic Methods, SIAM, ISBN 089871589X (with in-depth coverage and extensive applications of Total Variations in modern image processing, as started by Rudin, Osher, and Fatemi).