惠更斯－菲涅耳原理

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惠更斯－菲涅耳原理（以荷蘭物理學家克里斯蒂安·惠更斯和法国物理学家奥古斯丁·让·菲涅耳共同命名）是研究波传播问题的一种分析方法，同时适用于远场极限和近场衍射。原理表述为：

“

波阵面上的每一点可以认为是产生球面子波的一个次级扰动中心，而以后任何时刻的波阵面则可看作是这些次级子波的包络。

”

这一观点也叫做惠更斯作图法或惠更斯原理，而菲涅耳在这个原理的基础上假设这些次级子波会彼此发生干涉，因此严格意义上的惠更斯－菲涅耳原理是指惠更斯原理加干涉原理。用这种观点来描述波的传播，可以更好地解释包括衍射在内的波的多种现象。特别地，惠更斯－菲涅耳原理是建立衍射理论的基础假设，并指出了衍射的实质是所有次级子波干涉的结果。

例如，假设有两个相邻的房间，这两个房间靠中间的一扇敞开的门相连。当声音从其中一个房间的角落里发出时，则处在另一个房间里的人所听到的这个声音有如是以门作为波源传播而来的。从物理上来看，对这个房间而言门中的空气振动是声音的波源。对於光波对微小障碍物的绕射而言这也是类似的情形，但直观上并不明显，因为可见光的波长很短以至于很难观测这种效应。

单缝衍射

惠更斯－菲涅耳原理最常见的应用之一，是计算平面波（通常为可见光、无线电波、X射线或电子等）入射到任意形状的孔径上的衍射行为。根据原理所述，孔径上的每一点都是都是发出向各个方向传播的球面子波的一个点源，将所有从这些点源发出的球面波通过干涉原理进行叠加，就得到了原来的行进波通过孔径后的在任意时刻的波前。

考虑最简单的单缝衍射情形，例如当我们需要计算出现在屏上的衍射暗纹时，我们将这条相对较宽的狭缝分成无数更窄的狭缝，然后将它们看作是新的子波源并计算彼此的干涉。如果将单缝分成两个狭缝，当它们的子波的光程差对应着$\lambda/2\,$时有相消干涉；如果分成三个狭缝，则这一光程差对应$\lambda/3\,$时有相消干涉；以此类推到无数个狭缝的情形，光程差需要恰好为$\lambda\,$时才会得到完全的相消干涉。

一般孔径的衍射

上面讨论单缝衍射时所用的定性分析难以推广到一般形状孔径的衍射中。而基尔霍夫在惠更斯－菲涅耳原理的基础上将其数学化，认为这个原理可以用一个近似积分来表示。从一个点源发出的行波在位置$\mathbf{r}\,$上的振幅$\psi\,$可由频域下对应的波方程（亥姆霍兹方程）的解给出：

$\nabla^2 \psi + k^2 \psi = \delta(\bold r)$

其中$\delta(\bold r)$是三维的狄拉克δ函数。由于在这里狄拉克δ函数只是径向$\bold r\,$的函数，则在球坐标系下可以将拉普拉斯算符分解为

$\nabla ^2\psi= \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi)$

直接代入波方程，得到的方程的解是标量的格林函数，并在球坐标系下可表为

$\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}$

这个解的形式是假设了描述波源的狄拉克函数位于原点。对於任意位置$\bold r^{\prime}\,$的源点，在场点$\bold r\,$的标量格林函数可表为

$\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' | }}{4 \pi | \bold r - \bold r' |}$

由此，对於入射到孔径上的电场$E_{\rm{inc}}(x, y)\,$，从这一孔径发出的电场由入射场和格林函数对孔径几何分布的面积分给出：

$\Psi(r)\propto \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y')~ \frac{e^{ik | \bold r - \bold r'|}}{4 \pi | \bold r - \bold r' |} \,dx'\, dy',$

其中孔径上的点源坐标由下式给出：

$\bold r' = x' \hat{\bold x} + y' \hat{\bold y}$

在远场极限下，光线可认为彼此平行，此时格林函数

$\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik | \bold r - \bold r' |} }{4 \pi | \bold r - \bold r' |}$

可简化为

$\psi(\bold r | \bold r') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \bold r' \cdot \hat{\bold r})}$

则在远场区（夫琅禾费区），场的表达式为

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik ( \bold r' \cdot \hat{\bold r} ) } \, dx' \,dy',$

并由于

$\bold r' = x' \hat{\bold x} + y' \hat{\bold y}$

以及

$\hat{\bold r} = \sin \theta \cos \phi \hat{\bold x} + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \hat{\bold y}+ \cos \theta \hat{\bold z}$

从而，从一个平面孔径发出的电场在夫琅禾费区的表达式为

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx'\, dy'$

令

$k_x = k \sin \theta \cos \phi \,\!$

和

$k_y = k \sin \theta \sin \phi \,\!$

则一个平面孔径的夫琅禾费衍射具有傅里叶变换的形式：

$\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \,dx'\, dy',$

这表明在衍射的远场区，电场的形式由孔径的几何分布在空间上的傅里叶变换给出。也就是说当惠更斯－菲涅耳原理应用于孔径时，它表明夫琅禾费衍射的图样是孔径形状在空间上的傅里叶变换。这一原理用另一种语言——傅里叶光学——也可以做出等价的描述。

参见

维基共享资源中相关的多媒体资源：

惠更斯－菲涅耳原理

• 格林函数

• 格林定理

• 格林恒等式

• 菲涅耳衍射

• 双缝实验

• 费马原理

• 傅里叶光学