愛因斯坦-嘉當理論

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愛因斯坦-嘉當理論(Einstein-Cartan theory)是理論物理學中將廣義相對論延伸以正確處理自旋角動量。此理論以物理學家阿爾伯特·愛因斯坦以及埃利·嘉當(Élie Cartan)為名。

作為古典物理中的主要理論,廣義相對論卻有一個缺點:其無法描述「自旋軌道耦合」(spin-orbit coupling),亦即內稟角動量(intrinsic angular momentum)(自旋)與軌道角動量(orbital angular momentum)間的交換。存在有定量的理論證明,其顯示:當物體具有自旋性質時,廣義相對論必須要擴充成愛因斯坦-嘉當理論。

實驗上的效應由於太小,目前尚無法觀測得到。

動機[编辑]

廣義相對論無法描述自旋軌道耦合的理由根源於黎曼幾何,而廣義相對論是建構於其上。在黎曼幾何中,里奇曲率張量(Ricci curvature tensor)

Rab

必須是ab對稱的(亦即,Rab = Rba)。因此愛因斯坦曲率張量(Einstein curvature tensor)Gab定義為

Rab – 1/2 Rgab

也必須是對稱的。在廣義相對論中,愛因斯坦曲率張量為局域重力建構了模型,且其(透過重力常數的聯繫)等同於應力-能量張量或能量-動量張量

Pab

(此處我們將能量-動量張量表示為P,是因為廣義相對論中常用來表示能量-動量張量的T在愛因斯坦-嘉當理論留給仿射扭率(affine torsion)。)愛因斯坦曲率張量的對稱性強迫動量張量必須是對稱的。然而,當自旋與軌道角動量進行交換時,根據角動量守恆的廣義式,則知動量張量為不對稱的

自旋流(spin current)之散度——½(TabTba) = 0.

細節請參考自旋張量(spin tensor)條目。

因此廣義相對論無法適當地為自旋軌道耦合建構模型。

於1922年,埃利·嘉當提出猜想認為廣義相對論應該被延伸成包括仿射扭率(affine torsion),其允許里奇張量可以是不對稱的。雖然自旋-軌道耦合是重力物理學中相對次要的現象,愛因斯坦–嘉當理論則相當重要,因為

(1) 其顯示出仿射理論,而非度規理論,對於重力能提供更好的描述;
(2) 其解釋仿射扭率的意義,在一些量子重力理論中自然出現;
(3) 其將自旋詮釋為仿射扭率,在幾何意義上是時空介質(spacetime medium)之位錯場(field of dislocations)的一項連續近似。

將黎曼幾何擴充以包含了仿射扭率則稱為黎曼-嘉當幾何(Riemann–Cartan geometry)。

幾何與表示式[编辑]

時空物理學的數學基礎是仿射微分幾何(affine differential geometry),其中我們賦予n維微分流形M 一項沿著M上路徑對向量作平行移動的定律。(一微分流形的每個點,我們都有切向量所組成的一個線性空間,不過我們無法將向量移動到其他點,或是去比較M上位於不同兩點上的向量。)平行移動保存了向量間的線性關係;也就是說,若兩向量uv在M上同一點,沿著一曲線被平行移動成為向量u'v',則兩者的線性組合

a u + b v

也平行移動為

a u' + b v'

仿射微分幾何中的平行性(Parallelism)是路徑相依(path-dependent)的;也就是說,如果沿著同起點與同終點之兩相異路徑平行移動一向量,在終點所得的結果向量一般來說是相異的。這樣的差異本質上即為曲率的影響,而曲率在微分幾何中是個中心概念。