應力

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圖 1: 正向應力與剪應力
连续介质力学
概述
固体力学
流体力学

應力定義為「單位面積上所承受的力」。公式記為

\sigma_{ij} = \lim_{\Delta A_i \to 0} \frac {\Delta F_j} {\Delta A_i}

其中，σ表示應力；ΔFj 表示在j 方向的施力；ΔAi 表示在i 方向的受力面積。

  • 因為面積與力都是矢量，如果受力面積與施力同方向則稱正向應力，如圖1所示的σx 與σy；如果受力面積與施力方向互相正交則稱剪應力(shear stress)，如圖1所示的τxy 與τyx。

「內應力」指組成單一構造的不同材質之間，因材質差異而導致變形方式的不同，繼而產生的各種應力。

目录

[编辑] 应力张量

通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” (stress tensor) 的二阶张量（详见并矢张量或者张量积）。概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力（而且是通过近距离接触作用力）进行相互作用的强度。具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同，所以，必须用一个不依赖于假想曲面的量来描述连续介质内部的相互作用的状态。对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量，简称为应力。

在这里，我们所说的连续介质同物理学中的质点、刚体、点电荷等类似，都是一种模型，它假定物质没有微观结构，而只是连续地分布在一个给定的三维区域中－－有些情况下也会假定它连续分布在一个光滑曲面上，甚至一条光滑曲线上，不过我们这里暂不考虑这种二维分布和一维分布的连续介质。刚体就是连续介质的一种特殊情形。流体和弹性体也是连续介质的特殊情形。

设 d\boldsymbol{S} 是假想曲面上的一个面积元（见曲面积分），其外侧的介质（即 d\boldsymbol{S} 所指向的那部分介质）对内侧介质透过 d\boldsymbol{S} 所施加的作用力为 d\boldsymbol{F}，则，作为一个物理模型， d\boldsymbol{F} 对 d\boldsymbol{S} 有线性依赖关系，也就是说，从 d\boldsymbol{S} 到 d\boldsymbol{F} 的映射是一个线性映射。这个线性映射可以通过二阶张量 \boldsymbol{\sigma}（在电动力学和相对论中常常用 \mathbf{T} 来表示）和 d\boldsymbol{S} 的缩并得到：

d\boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\boldsymbol{S} \, .

这里的 \boldsymbol{\sigma} 就是应力张量。

如果建立一个直角坐标系 (O;x,y,z)，为了简便起见，我们把 x, \, y, \, z 分别记为 x^1, \, x^2, \, x^3，把对应的三个单位矢量 \boldsymbol{i}, \, \boldsymbol{j}, \, \boldsymbol{k} 分别记为 \boldsymbol{e}_1 , \, \boldsymbol{e}_2 , \, \boldsymbol{e}_3，则

d\boldsymbol{S} = \boldsymbol{e}_i \, dS^i \, , \qquad d\boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, dF^i \, .

在这里，指标 i, \, j, \, k 等的取值范围为 1, 2, 3，而且重复指标要按照爱因斯坦求和约定来求和。与通常的记号（见曲面积分）来联系，有

dS^1 = dy \, dz \, , \qquad dS^2 = dz \, dx \, , \qquad dS^3 = dx \, dy \, ,

或者，用微分流形理论的记法，

dS^i = \frac{1}{2} \, \varepsilon^{ijk} \, dx^j \wedge dx^k = *dx^i \, ,

其中 \varepsilon^{ijk} 是列维-奇维塔符号（Levi-Civita symbol），而 * dxi 是外微分形式 dxi 的霍奇对偶（Hodge dual）。 我们可以把应力张量 \boldsymbol{\sigma} 写成

\boldsymbol{\sigma} = \sigma^{ij} \, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \, ,

那么，按照并矢张量和矢量的缩并规则，

\boldsymbol{\sigma} \cdot d\boldsymbol{S} = \sigma^{ij} \, (\boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j) \cdot \boldsymbol{e}_k \, dS^k = \sigma^{ij} \, \boldsymbol{e}_i (\boldsymbol{e}_j \cdot \boldsymbol{e}_k) \, dS^k = \sigma^{ij} \, \boldsymbol{e}_i \, \delta_{jk} \, dS^k = \sigma^{ij} \, \boldsymbol{e}_i \, dS^j \, ,

其中的 δij 是克罗内克记号。将上式右端与 d\boldsymbol{F} = \boldsymbol{e}_i \, dF^i 进行比较即可得到

dF^i = \sigma^{ij} \, dS^j \, .

由此可以得到 σij 的物理意义：如果曲面的面积元 d\boldsymbol{S} 的方向和 \boldsymbol{e}_1 方向一致，则 d\boldsymbol{F} = \sigma^{i1} \, \boldsymbol{e}_i \, dS^1 = \sigma^{i1} \, \boldsymbol{e}_i \, dy \, dz，可见 σi1 是等 x1 平面的“正面”（如果该平面为 x1 = a，则它的“正面”指的就是 x1 > a 的那一側）的介质对“负面”的介质的作用力的面密度 \sigma^{i1} \boldsymbol{e}_i 的 i 分量。推而广之，σij 是等 xj 平面的“正面”的介质对“负面”的介质的作用力的面密度的 i 分量。

很显然，应力张量的量纲和力与面积的比相同，都是 [F/S] = [M] \, [L^{-1}] \, [T^{-2}]，在国际单位制中，它的单位是帕斯卡（Pa），1 \, \mathrm{Pa} = 1 \, \mathrm{N}/\mathrm{m}^2。这个单位也是压强的单位，我们马上就可以看到二者之间的关系。

[编辑] 高斯定理

如果连续介质被一张曲面 S 分隔为 1、2 两部分，如果我们要计算第 2 部分对第 1 部分的作用力的总和 \boldsymbol{F}_{21}，就可以把 S 的单位法矢量 \hat{\boldsymbol{n}} 选为由 1 指向 2，并且令 d\boldsymbol{S} = \hat{\boldsymbol{n}} \, dS，则

\boldsymbol{F}_{21} = \iint_S \boldsymbol{\sigma} \cdot d\boldsymbol{S} \, .

如果 S 是一个封闭曲面，那么 \hat{\boldsymbol{n}} 就成为了第 1 部分所在区域 V 的外法矢量，这时可以对上述积分应用高斯公式，其结果为

\boldsymbol{F}_{21} = \iiint_V \mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma} \, dV \, ,

其中 \mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma} 是二阶张量 \boldsymbol{\sigma} 的散度，在这里我们把它定义为

\mathrm{div} \, \boldsymbol{\sigma} = \frac{\partial \sigma^{ij}}{\partial x^j} \boldsymbol{e}_i = \nabla\cdot \boldsymbol{\sigma}' \, ,

而

\boldsymbol{\sigma}' = \sigma^{ij} \boldsymbol{e}_j \boldsymbol{e}_i

是 \boldsymbol{\sigma} = \sigma^{ij} \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j 的转置。

关于二阶张量的高斯定理，详见高斯公式。

[编辑] 牛顿第三定律自动满足

牛顿第三定律显然是满足的，因为，如果面积元 d\boldsymbol{S} 从介质的第 1 部分指向第 2 部分，则 d\boldsymbol{S}' = - d\boldsymbol{S} 就会从介质的第 2 部分指向第 1 部分，于是第 2 部分对第 1 部分的作用力 d\boldsymbol{F} = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\boldsymbol{S} 和第 1 部分对第 2 部分的作用力 d\boldsymbol{F}' = \boldsymbol{\sigma} \cdot d\boldsymbol{S}' 显然满足 d\boldsymbol{F}' = - d\boldsymbol{F}。


[编辑] 应变张量的对称性

这里所说的对称性，是指转置下的不变性，即

\boldsymbol{\sigma}' = \boldsymbol{\sigma} \, ,

亦即

\sigma^{ji} = \sigma^{ij} \, .

在牛顿力学中，应力张量的对称性是角动量定理的一个推论。

[编辑] 压强和剪应力

可以把应力张量分解为压强（pressure）p 和剪应力（shear stress）\boldsymbol{\tau} 两部分。为此，我们先给出二阶张量的迹（trace）以及单位张量的定义。

设 \mathbf{T} 是一个二阶张量，而 (\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3) 是三维欧几里得空间（Euclidean space）E3 的一个右手的标准正交基（orthonormal basis），则定义 \mathbf{T} 的迹（trace）

\mathrm{tr}\mathbf{T} = \sum_{i = 1}^3 \boldsymbol{e}_i \cdot \mathbf{T} \cdot \boldsymbol{e}_i \, .

在这里，我们约定：如果求和号在表达式中出现，那么爱因斯坦求和约定就不再有效。 不难验证，如果把 \mathbf{T} 展开为 \mathbf{T} = T^{ij} \, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j，则

\mathrm{tr}\mathbf{T} = T^{ii} \, .

接下来，我们定义

\mathbf{I} = \delta^{ij} \, \boldsymbol{e}_i \boldsymbol{e}_j \, ,

则不难正面，\mathbf{I} 的定义与标准正交基 (\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3) 的选取无关。此外，不难验证它有如下性质：对于任意一个矢量 \boldsymbol{a}，总是成立着

\mathbf{I} \cdot \boldsymbol{a} = \boldsymbol{a} \cdot \mathbf{I} = \boldsymbol{a} \, ,

因此我们称 \mathbf{I} 为 E3 上的单位张量。

借助于以上两个概念，我们对应力张量 \boldsymbol{\sigma} 定义

p = - \frac{1}{3} \, \mathrm{tr} \, \boldsymbol{\sigma} \, , \qquad \boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\sigma} + p \mathbf{I} \, .

为了看清它们的物理意义，我们先考虑一个特殊情形：应力张量 \boldsymbol{\sigma} 满足 \boldsymbol{\tau} = 0，则 \boldsymbol{\sigma} = - p \mathbf{I}。在介质中任取一个面积元 d\boldsymbol{S}，则面积元所指向的那部分介质（外侧介质）对它的内侧介质的作用力为 d\boldsymbol{F} = - p \, d\boldsymbol{S}，负号表明 d\boldsymbol{F} 的方向与 d\boldsymbol{S} 相反，即介质的内部作用力是一种压力，其方向总是垂直于分隔面。在介质为流体的情形，p 正好就是压强。

对于电磁场的麦克斯韦应力张量 \mathbf{T} 而言，上述定义下的压强 p 就是电磁场的能量密度 u 的三分之一，即光压：

p = \frac{1}{3} u \, ,

见下面的“麦克斯韦应力张量”一节。

在讨论 \boldsymbol{\tau} 的物理意义之前，先给出它的一些基本性质。首先，

\mathrm{tr} \, \boldsymbol{\tau} = 0 \, ,

所以，常常称 \boldsymbol{\tau} 为 \boldsymbol{\sigma} 的无迹部分。


[编辑] 麦克斯韦应力张量

在电动力学中，电磁场的麦克斯韦应力张量在国际单位制中的表达式为

\mathbf{T} = \varepsilon_0 \boldsymbol{EE} + \frac{1}{\mu_0} \boldsymbol{BB} - u \mathbf{I} \, ,

其中

u = \frac{1}{2} \Big( \varepsilon_0 |\boldsymbol{E}|^2 + \frac{1}{\mu_0} |\boldsymbol{B}|^2 \Big)

是电磁场的能量密度。不难看出，麦克斯韦应力张量的迹 \mathrm{tr} \, \mathbf{T} = - u，故它所对应的压强

p = \frac{1}{3} u \, ,

这就是统计力学中常常遇到的光压。


[编辑] 應力的種類

  • 熱應力：材料由於溫度變化所產生的應力。
  • 靜態應力：所施加於物體上的力大小與方向不隨時間變化的應力。
  • 動態應力：所施加於物體上的力大小隨時間變化的應力。
  • 疲勞應力：長時間反覆施加於物體上使得物體發生疲勞的應力。
  • 殘留應力：物體受力後所產生的應變超過彈性範圍，而使得物體內部無法恢復原來的狀態所殘存的應力。

[编辑] 參見

[编辑] 相關領域

[编辑] 參考文獻

  1. Landau and Lifshitz,《Theory of Elasticity》（英譯本）3rd ed., Oxford: Pergamon Press, 1986: Section 2.
  2. Landau and Lifshitz,《Fluid Mechanics》（英譯本）2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1987: Section 15.
  3. Landau and Lifshitz,《Electrodynamics of Continuous Media》（英譯本）2nd ed., Oxford: Pergamon Press, 1984: Section 15.
  4. 謝多夫，《連續介質力學》（第一卷）（第6版）（李植譯），北京：高等教育出版社，2007：94—101.

2009年7月17日 20:43 \tanh{}

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