懸鏈曲面

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懸鏈曲面

懸鏈曲面(又名懸垂曲面)是一个曲面,是將懸鏈線繞其準線旋轉而得,故為一旋轉曲面。除了平面以外,懸鏈曲面也是第一個被发现的最小曲面,在1744年被萊昂哈德·歐拉发现且證明。[1]Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。[2]只有兩個曲面既為旋轉曲面又是最小曲面,即為平面與懸鏈曲面。[3] 懸鏈曲面可被以下參數式所定義:

x=c \cosh \frac{v}{c} \cos u
y=c \cosh \frac{v}{c} \sin u
z=v

其中uv為實參數而c為大於零的常數。

把兩個圓形浸泡於一肥皂溶液裏,再緩慢地把那兩個圓形分隔開,就可以製作出一個懸鏈曲面的物理模型。

螺旋面變換[编辑]

此動畫展示了螺旋面如何變型成懸鏈曲面

螺旋面與懸鏈曲面屬同一相關曲面,我們可以在不拉縮的情況下將懸鏈曲面扳成螺旋面。也就是說,我們可以用一個連續等距的變換將懸鏈曲面變成螺旋面的一部份,且在變型的每一瞬間,曲面皆為最小曲面。此變換可由下列式子給出:

x(u,v) = \cos \theta \,\sinh v \,\sin u + \sin \theta \,\cosh v \,\cos u
y(u,v) = -\cos \theta \,\sinh v \,\cos u + \sin \theta \,\cosh v \,\sin u
z(u,v) = u \cos \theta + v \sin \theta \,
注意(u,v) \in (-\pi, \pi] \times (-\infty, \infty),且變換參數 -\pi < \theta \le \pi

其中 \theta = \pi對應到右旋螺旋面, \theta = \pm \pi / 2對應到懸鏈曲面,。 \theta = 0對應到左旋螺旋面。

參見[编辑]

  • ^ L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, 1744, in: Opera omnia I, 24
  • ^ Meusnier, J. B. "Mémoire sur la courbure des surfaces." Mém. des savans étrangers 10 (lu 1776), 477-510, 1785
  • ^ Catenoid at MathWorld