截面曲率

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黎曼几何中,截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率K(\sigma_p)依赖于p点的切空间的一个二维平面 \sigma_p 。它就定义为该截面—在p点以平面\sigma_p 作为切平面的曲面,通过从p点沿着\sigma_p的各個方向出發的諸测地线得到(换句话说,就是\sigma_pp指数映射的像)—的高斯曲率。形式上,截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量,是非常有用的几何概念。

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量,它们有三种情况

三类几何的模型流形分别是双曲空间欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形,所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质[编辑]

  • 完备黎曼空间有非负的截面曲率,当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)对于所有点p是一个1-函数。
  • 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率,当且仅当函数f_p(x)=dist^2(p,x)是1-函数。

参看[编辑]