截面曲率

在黎曼几何中，截面曲率是描述黎曼流形的曲率的一种方式。截面曲率$K(\sigma_p)$依赖于p点的切空间的一个二维平面 $\sigma_p$ 。它就定义为该截面—在p点以平面$\sigma_p$ 作为切平面的曲面，通过从p点沿着$\sigma_p$的各個方向出發的諸测地线得到（换句话说，就是$\sigma_p$在p的指数映射的像）—的高斯曲率。形式上，截面曲率是流形上的2维格拉斯曼纤维丛的光滑实值函数。

截面曲率完全决定了曲率张量，是非常有用的几何概念。

常截面曲率的黎曼流形是最简单的类型。它们称为空间形式。通过缩放度量，它们有三种情况

• 负曲率−1， 双曲几何
• 零曲率，欧几里得几何
• 正曲率+1，椭圆几何

三类几何的模型流形分别是双曲空间，欧几里得空间和单位球面。它们是对于这些给定的截面曲率唯一可能的完备单连通黎曼流形，所有其它常曲率流形是它们在某个等距映射群下的商。

性质

• 完备黎曼空间有非负的截面曲率，当且仅当函数$f_p(x)=dist^2(p,x)$对于所有点p是一个1-凹函数。
• 一个完备单连通黎曼流形有非正截面曲率，当且仅当函数$f_p(x)=dist^2(p,x)$是1-凸函数。

参看

• 黎曼曲率张量
• 黎曼流形的曲率
• 曲率