扁球面坐標系

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圖1)扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的\mu=1。藍色半雙曲面的\nu=45^{\circ}。黃色半平面的\phi= - 60^{\circ}(黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是 - 60^{\circ})。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點P(以黑色的圓球表示),直角坐標大約為(1.09,\ - 1.89,\ 1.66)
圖2)橢圓坐標系繪圖。横軸是x-軸,豎軸是z-軸。紅色橢圓(\mu-等值線)變成上圖的紅色扁球面(\mu坐標曲面),而x>0青藍色雙曲線(\nu-等值線)則變成藍色半雙曲面(\nu坐標曲面)。

扁球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於xz-平面;兩個焦點F_{1}F_{2}直角坐標分別為( - a,\ 0,\ 0)(a,\ 0,\ 0)。將橢圓坐標系繞著z-軸旋轉,則可以得到扁球面坐標系。(假若,繞著y-軸旋轉,則可以得到長球面坐標系。)橢圓坐標系的兩個焦點,變為一個半徑為a的圓圈,包含於三維空間的xy-平面。稱這圓圈為焦圓,又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例,其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面旋轉雙曲面時,扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如,關於佩蘭摩擦因子Perrin friction factors)的計算,扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲1926年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子旋轉擴散rotational diffusion)。這程序又影響了許多科技,像蛋白質核磁共振光譜學protein NMR),的可行性。應用這程序,我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學(例如,扁球形帶電的分子的電容率),聲學(例如,聲音通過圓孔時產生的散射),流體動力學(水通過消防水帶的噴口),擴散理論(紅熱的錢幣在水裏的冷卻),等等方面的問題。

第一種表述[编辑]

在三維空間裏,一個點P的扁球面坐標(\mu,\ \nu,\ \phi)常見的定義是

x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi
y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi
z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu

其中,\mu\ge 0是個實數,角度 - 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ},角度 - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}

學術界比較中意這一種扁球面坐標,因為沒有簡併;三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面[编辑]

\mu坐標曲面是扁球面 :

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

它們是由橢圓繞著z-軸旋轉形成的。橢球面與xz-平面的相交,是一個的橢圓。沿著x-軸,長半軸長度為a\cosh\mu,沿著z-軸,短半軸長度為a\sinh\mu。橢圓的焦點都包含於x-軸,x-坐標分別為\pm a

\nu坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 :

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

假若\nu是正值,z也是正值,這半個單葉旋轉雙曲面在xy-平面以上;假若是負值,則在xy-平面以下。\nu是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在x-軸,x-坐標分別為\pm a

\phi坐標曲面是個半平面 :

x\sin\phi - y\cos\phi=0

逆變換[编辑]

用直角坐標(x,\ y,\ z)來計算扁球面坐標(\mu,\ \nu,\ \phi),方位角\phi的公式為

\tan \phi = \frac{y}{x}

設定d_1d_2分別為點P與焦圓的最遠距離與最近距離,以方程式表示為

d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}
d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}

坐標\mu\nu的方程式分別為

\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}
\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}

標度因子[编辑]

扁球面坐標\mu\nu的標度因子相等:

h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}

方位角\phi的標度因子為

h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} 
\left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + 
\frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu}
\left(\cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right)
\right] +
\frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

其它微分算子,像\nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F},都可以用(\mu,\ \nu,\ \phi)坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述[编辑]

另外有一組有時會用到的扁球面坐標(\zeta,\ \xi,\ \phi);其中,\zeta = \sinh \mu\xi = \sin \nu[1]\zeta坐標曲面是個扁球面,\xi坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標:

x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi
y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi
z = a \zeta \xi

其中,實數0 \le \zeta < \infty,實數-1 \le \xi < 1,角度 - 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}

標度因子[编辑]

扁球面坐標(\zeta,\ \xi,\ \phi)的標度因子分別為:

h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}
h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}
h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}

無窮小體積元素是

dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi

拉普拉斯算子


\nabla^{2} V =
\frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ 
\left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \xi} \left[ 
\left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)}
\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}

第三種表述[编辑]

圖3)第三種扁球面坐標系(\sigma,\ \tau,\ \phi)的三個坐標曲面。紅色扁球面是\sigma坐標曲面。藍色單葉雙曲面是\tau坐標曲面。黃色半平面是\phi坐標曲面 (黃色半平面與xz-半平面之間的二面角角度是\phi)。z-軸是垂直的,以白色表示。x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點P1,P2 (以黑色的圓球表示)觀察到。

另外,還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系(\sigma,\ \tau,\ \phi) [2]

\sigma=\cosh\mu
\tau=\cos \nu
\phi=\phi

坐標\sigma必須大於或等於1。坐標\tau必須在正負1之間。\sigma坐標曲面是扁球面。\tau坐標曲面是單葉雙曲面,包含了對應於正負\nu的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併:三維空間的兩點(直角坐標(x,\ y,\ \pm z)映射至一組扁球面坐標系(\sigma,\ \tau,\ \phi))。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到:

x = a\sigma\tau \cos \phi
y = a\sigma\tau \sin \phi
z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)

坐標\sigma\tau有一個簡單的公式來表達任何一點P與焦圓的最遠距離d_1,最近距離d_2

d_{1}+d_{2} = 2a\sigma
d_{1} - d_{2}= 2a\tau

所以,點P與焦圓的最遠距離是a(\sigma+\tau),點P與焦圓的最近距離是a(\sigma - \tau)

坐標曲面[编辑]

\sigma坐標曲面是扁球面 :

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2}  - 1\right)} = 1

\tau坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 :

\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1

\phi坐標曲面是半個平面 :

x\sin\phi - y\cos\phi=0

標度因子[编辑]

扁球面坐標(\sigma,\ \tau,\ \phi)的標度因子分別為:

h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}
h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}
h_{\phi}=a \sigma \tau

無窮小體積元素是

dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi

拉普拉斯算子


\nabla^{2} \Phi =
\frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

其它微分算子,像\nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F},都可以用(\sigma,\ \tau,\ z)坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解,得到形式為扁球諧函數的答案。假若,邊界條件涉及扁球面,我們可以優先選擇這方法來解析。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Smythe, 1968。
  2. ^ Abramowitz and Stegun, p. 752。

參考目錄[编辑]

不按照命名常規[编辑]

  • Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  採用\xi_1=a\sinh\mu\xi_2=\sin\nu\xi_3=\cos\phi
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  如同Morse & Feshbach (1953),採用u_k來替代\xi_k
  • Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  採用混合坐標\xi=a\sinh\mu\eta=\sin\nu\phi=\phi

按照命名常規[编辑]

  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177. 採用第一種表述(\mu,\ \nu,\ \phi),又加介紹了簡併的第三種表述(\sigma,\ \tau,\ \phi)
  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  如同Korn and Korn (1961),但採用餘緯度\theta=90^{\circ} - \nu來替代緯度\nu
  • Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  Moon and Spencer採用餘緯度常規\theta=90^{\circ} - \nu,又改名\phi\psi

特異命名常規[编辑]

  • Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347. 視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。