扁球面坐標系

圖 1 ）扁球面坐標系的幾個坐標曲面。紅色扁球面的 $\mu=1$ 。藍色半雙曲面的 $\nu=45^{\circ}$ 。黃色半平面的 $\phi= - 60^{\circ}$ （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $- 60^{\circ}$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。三個坐標曲面相交於點 P （以黑色的圓球表示），直角坐標大約為 $(1.09,\ - 1.89,\ 1.66)$ 。

圖 2 ）橢圓坐標系繪圖。横軸是 x-軸，豎軸是 z-軸。紅色橢圓（ $\mu$-等值線）變成上圖的紅色扁球面（ $\mu$ 坐標曲面），而 $x>0$ 青藍色雙曲線（ $\nu$-等值線）則變成藍色半雙曲面（ $\nu$ 坐標曲面）。

扁球面坐標系是一種三維正交坐標系。設定二維橢圓坐標系包含於 xz-平面；兩個焦點 $F_{1}$ 與 $F_{2}$ 的直角坐標分別為 $( - a,\ 0,\ 0)$ 與 $(a,\ 0,\ 0)$ 。將橢圓坐標系繞著 z-軸旋轉，則可以得到扁球面坐標系。（假若，繞著 y-軸旋轉，則可以得到長球面坐標系。）橢圓坐標系的兩個焦點，變為一個半徑為 $a$ 的圓圈，包含於三維空間的 xy-平面。稱這圓圈為焦圓，又稱為參考圓。扁球面坐標系可以被視為橢球坐標系的極限案例，其兩個最大的半軸的長度相同。

當邊界條件涉及扁球面或旋轉雙曲面時，扁球面坐標時常可以用來解析偏微分方程式。例如，關於佩蘭摩擦因子 (Perrin friction factors) 的計算，扁球面坐標扮演了極重要的角色。讓·佩蘭因此而榮獲 1926 年諾貝爾物理獎。佩蘭摩擦因子決定了分子的旋轉擴散 (rotational diffusion) 。這程序又影響了許多科技，像蛋白質核磁共振光譜學 (protein NMR) ，的可行性。應用這程序，我們可以推論分子的流體動力體積與形狀。扁球面坐標也時常用來解析電磁學（例如，扁球形帶電的分子的電容率），聲學（例如，聲音通過圓孔時產生的散射），流體動力學（水通過消防水帶的噴口），擴散理論（紅熱的錢幣在水裏的冷卻），等等方面的問題。

第一種表述

在三維空間裏，一個點 P 的扁球面坐標 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 常見的定義是

$x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$ 、

$y = a \ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$ 、

$z = a \ \sinh \mu \ \sin \nu$ 。

其中，$\mu\ge 0$ 是個實數，角度 $- 90^{\circ} \le \nu \le 90^{\circ}$ ，角度 $- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$ 。

學術界比較中意這一種扁球面坐標，因為沒有簡併；三維空間內每一點都擁有自己獨特的扁球面坐標。

坐標曲面

$\mu$ 坐標曲面是扁球面 ：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{z^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$ 。

它們是由橢圓繞著 z-軸旋轉形成的。橢球面與 xz-平面的相交，是一個的橢圓。沿著 x-軸，長半軸長度為 $a\cosh\mu$ ，沿著 z-軸，短半軸長度為 $a\sinh\mu$ 。橢圓的焦點都包含於 x-軸，x-坐標分別為 $\pm a$ 。

$\nu$ 坐標曲面是半個單葉旋轉雙曲面 ：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{z^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$ 。

假若 $\nu$ 是正值，$z$ 也是正值，這半個單葉旋轉雙曲面在 xy-平面以上；假若是負值，則在 xy-平面以下。$\nu$ 是雙曲線的漸近線的角度。所有雙曲線的焦點都在 x-軸，x-坐標分別為 $\pm a$ 。

$\phi$ 坐標曲面是個半平面 ：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$ 。

逆變換

用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 來計算扁球面坐標 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ ，方位角 $\phi$ 的公式為

$\tan \phi = \frac{y}{x}$ 。

設定 $d_1$ 與 $d_2$ 分別為點 P 與焦圓的最遠距離與最近距離，以方程式表示為

$d_{1}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} + a)^{2} + z^{2}$ 、

$d_{2}^{2} = (\sqrt{x^{2}+y^{2}} - a)^{2} + z^{2}$ 。

坐標 $\mu$ 和 $\nu$ 的方程式分別為

$\cosh \mu = \frac{d_{1} + d_{2}}{2a}$ 、

$\cos \nu = \frac{d_{1} - d_{2}}{2a}$ 。

標度因子

扁球面坐標 $\mu$ 與 $\nu$ 的標度因子相等：

$h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}$ 。

方位角 $\phi$ 的標度因子為

$h_{\phi} = a \cosh\mu \ \cos\nu$ 。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \cosh\mu \ \cos\nu \ \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} \left[ \frac{1}{\cosh \mu} \frac{\partial}{\partial \mu} \left( \cosh \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} \right) + \frac{1}{\cos \nu} \frac{\partial}{\partial \nu} \left( \cos \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu} \right) \right] + \frac{1}{a^{2} \left( \cosh^{2}\mu\cos^{2}\nu \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 、$\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

第二種表述

另外有一組有時會用到的扁球面坐標 $(\zeta,\ \xi,\ \phi)$ ；其中，$\zeta = \sinh \mu$ ，$\xi = \sin \nu$ 。$\zeta$ 坐標曲面是個扁球面，$\xi$ 坐標曲面是個旋轉雙曲面。從直角坐標變換至扁球面坐標：

$x = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\cos \phi$ 、

$y = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1-\xi^2)}\,\sin \phi$ 、

$z = a \zeta \xi$ 。

其中，實數 $0 \le \zeta < \infty$ ，實數 $-1 \le \xi < 1$ ，角度 $- 180^{\circ} \le \phi \le 180^{\circ}$ 。

標度因子

扁球面坐標 $(\zeta,\ \xi,\ \phi)$ 的標度因子分別為:

$h_{\zeta} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1+\zeta^2}}$ 、

$h_{\xi} = a\sqrt{\frac{\zeta^2 + \xi^2}{1 - \xi^2}}$ 、

$h_{\phi} = a\sqrt{(1+\zeta^2)(1 - \xi^2)}$ 。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} (\zeta^2+\xi^2)\,d\zeta\,d\xi\,d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} V = \frac{1}{a^2 \left( \zeta^2 + \xi^2 \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \zeta} \left[ \left(1+\zeta^2\right) \frac{\partial V}{\partial \zeta} \right] + \frac{\partial}{\partial \xi} \left[ \left( 1 - \xi^2 \right) \frac{\partial V}{\partial \xi} \right] \right\} + \frac{1}{a^2 \left( 1+\zeta^2 \right) \left( 1 - \xi^{2} \right)} \frac{\partial^2 V}{\partial \phi^{2}}$ 。

第三種表述

圖 3 ）第三種扁球面坐標系 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 的三個坐標曲面。紅色扁球面是 $\sigma$ 坐標曲面。藍色單葉雙曲面是 $\tau$ 坐標曲面 。黃色半平面是 $\phi$ 坐標曲面 （黃色半平面與 xz-半平面之間的二面角角度是 $\phi$ ）。z-軸是垂直的，以白色表示。 x-軸以綠色表示。第三種扁球面坐標系有雙重簡併。這可以從三個坐標曲面的兩個相交點 P₁ ，P₂ （以黑色的圓球表示）觀察到。

另外，還有一種比較有幾何直覺性的扁球面坐標系 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ ：

$\sigma=\cosh\mu$ 、

$\tau=\cos \nu$ 、

$\phi=\phi$ 。

坐標 $\sigma$ 必須大於或等於 1 。坐標 $\tau$ 必須在正負 1 之間。$\sigma$ 坐標曲面是扁球面。$\tau$ 坐標曲面是單葉雙曲面，包含了對應於正負 $\nu$ 的半雙曲面。第三種坐標有雙重簡併：三維空間的兩點（直角坐標 $(x,\ y,\ \pm z)$ 映射至一組扁球面坐標系 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ ）。這雙重簡併可以從直角坐標變換至扁球面坐標的公式觀察到：

$x = a\sigma\tau \cos \phi$ 、

$y = a\sigma\tau \sin \phi$ 、

$z^{2} = a^{2} \left( \sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)$ 。

坐標 $\sigma$ 與 $\tau$ 有一個簡單的公式來表達任何一點 P 與焦圓的最遠距離 $d_1$ ，最近距離 $d_2$ ：

$d_{1}+d_{2} = 2a\sigma$ 、

$d_{1} - d_{2}= 2a\tau$ 。

所以，點 P 與焦圓的最遠距離是 $a(\sigma+\tau)$ ，點 P 與焦圓的最近距離是 $a(\sigma - \tau)$ 。

坐標曲面

$\sigma$ 坐標曲面是扁球面 ：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sigma^{2}} + \frac{z^{2}}{a^{2} \left(\sigma^{2} - 1\right)} = 1$ 。

$\tau$ 坐標曲面是單葉旋轉雙曲面 ：

$\frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \tau^{2}} - \frac{z^{2}}{a^{2} \left( 1 - \tau^{2} \right)} = 1$ 。

$\phi$ 坐標曲面是半個平面 ：

$x\sin\phi - y\cos\phi=0$ 。

標度因子

扁球面坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 的標度因子分別為:

$h_{\sigma}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sigma^{2} + 1}}$ 、

$h_{\tau}=a\sqrt{\frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}$ 、

$h_{\phi}=a \sigma \tau$ 。

無窮小體積元素是

$dV = a^{3} \sigma \tau \frac{\sigma^{2} + \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left\{ \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ \left( \sigma^{2} + 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right] + \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ \left( 1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right] \right\} + \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} + 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)} \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ 、 $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\sigma,\ \tau,\ z)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內對應的一般公式。

如同球坐標解答的形式為球諧函數，拉普拉斯方程可以用分離變數法來求解，得到形式為扁球諧函數的答案。假若，邊界條件涉及扁球面，我們可以優先選擇這方法來解析。

參考目錄

不按照命名常規

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  採用 $\xi_1=a\sinh\mu$ 、$\xi_2=\sin\nu$ 、$\xi_3=\cos\phi$ 。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  如同 Morse & Feshbach (1953) ，採用 $u_k$ 來替代 $\xi_k$ 。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968. 

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  採用混合坐標 $\xi=a\sinh\mu$ 、$\eta=\sin\nu$ 、$\phi=\phi$ 。

按照命名常規

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  採用第一種表述 $(\mu,\ \nu,\ \phi)$ ，又加介紹了簡併的第三種表述 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  如同 Korn and Korn (1961) ，但採用餘緯度 $\theta=90^{\circ} - \nu$ 來替代緯度 $\nu$ 。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  Moon and Spencer 採用餘緯度常規 $\theta=90^{\circ} - \nu$ ，又改名 $\phi$ 為 $\psi$ 。

特異命名常規

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  視扁球面坐標系為橢球坐標系的極限。採用第二種表述。