托勒密定理

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一般的四边形中,AB \cdot CD + AD \cdot BC \geqslant AC \cdot BD

数学中,托勒密定理是欧几里得几何学中的一个关于四边形的定理。托勒密定理指出凸四边形两组对边乘积之和不小于两条对角线的乘积,等号当且仅当四边形为圆内接四边形,或退化为直线取得(这时也称为欧拉定理)。狭义的托勒密定理也可以叙述为:圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。它的逆定理也是成立的:若一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积,则这个凸四边形内接于一圆。托勒密定理实际上可以看做一种判定圆内接四边形的方法。

证明[编辑]

几何证明[编辑]

Ptolemy's theorem.svg
  1. 设ABCD是圆内接四边形
  2. BC上,圆周角∠BAC = ∠BDC,而在AB上,∠ADB = ∠ACB。
  3. 在AC上取一点K,使得∠ABK = ∠CBD; 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD,所以∠CBK = ∠ABD。
  4. 因此△ABK与△DBC相似,同理也有△ABD相似于△KBC。
  5. 因此AK/AB = CD/BD,且CK/BC = DA/BD;
  6. 因此AK·BD = AB·CD,且CK·BD = BC·DA;
  7. 两式相加,得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
  8. 但AK+CK = AC,因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。证毕。

复数证明[编辑]

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数,则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是:(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d) ,两边取,运用三角不等式\|(a-b)(c-d)\|+\|(a-d)(b-c)\| \ge \|(a-c)(b-d)\|
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等,这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。

复数证明中的复数可以换成赋范向量空间中的向量。这说明了定理中的四点不一定限于同一平面

逆定理的几何证明[编辑]

Ptolemy's inequality.PNG

用几何方法也可以同时证明托勒密定理以及它的逆定理。设ABCD 为任意一个凸四边形。作三角形APB 与三角形DCB 顺相似,则会有:

\angle ABP = \angle DBC(红色角)

因此,

\angle ABD = \angle PBC

同时,根据相似三角形的性质还有:

\frac{AB}{DB} = \frac{PB}{CB}

由此可知三角形ABD 与三角形PBC 也是顺相似三角形。这两个顺相似关系说明:

AB \cdot CD = AP \cdot BD
AD \cdot BC = PC \cdot BD

两式相加,得到:

AB \cdot CD + AD \cdot BC = (AP + PC ) \cdot BD \geqslant AC \cdot BD

等号成立当且仅当APC三点共线,也就等价于\angle BAC = \angle BAP = \angle BDC,即是等价于ABCD四点共圆。因此命题得证。[1]

反演的证明[编辑]

使用反演方法,可以得出托勒密定理与三角不等式互为对偶命题的结论。事实上,设有凸四边形ABCD内接于圆,那么以其中一点D为中心,以半径r作反演,则圆变为过点D 的直线,点ABC 变为这条直线上的三点: A'B'C'。这三点之间有:

A'B' + B'C' = A'C' \qquad \qquad \qquad (*)

而反演变换中的长度关系为:

A'B'\cdot AB = DA \cdot DB = r^2, \qquad \, A'C'\cdot AC = DA \cdot DC = r^2 , \qquad \, C'B'\cdot CB = DC \cdot DB = r^2

代入(*) 式就得到:

 AB \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DB} + BC \cdot \frac{r^2}{DC \cdot DB} = AC \cdot \frac{r^2}{DA \cdot DC}

通分,并除以r^2,就可得到:

AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD

而如果ABCD四点不共圆的话,那么以D 为中心反演之后的三个点A'B'C'将在另一个圆上,因此不共线。(*) 式里的等号也要改为大于等于号。这正是托勒密定理。[2]

与西姆松定理的关系[编辑]

Pedal line illustration.png

西姆松定理也是一个与四点共圆有关的定理。利用圆内接四边形边长之间的三角关系,可以将托勒密定理作为西姆松定理的推论[3]

西姆松定理说明:过一个三角形 ABC 外的一点 P 作它到三角形三边的垂线,设垂足分别是L, N, M(如左图),那么L, N, M这三个点在同一条直线上当且仅当P 在三角形 ABC外接圆上(也就是说 A, B, C, P四点共圆)。 注意到由于\angle PLB\angle PNB都是直角, L, B, N, P四点共圆,并且这个圆的直径就是PB。因此:

LN = PB \sin \angle LBN = PB \sin \angle ABC

而根据圆内弦长的关系,有:AC = 2 R \sin \angle ABC

其中R 为外接圆的半径。所以代入上式就可得到:

LN = \frac{PB \cdot AC}{2R}

同理可得:

NM = \frac{PA \cdot BC}{2R}, \qquad \quad LM = \frac{PC \cdot AB}{2R}


而在三角形LNM中,两边长之和大于第三边:

LN + NM \geqslant LM

所以有:

PA \cdot BC + PB \cdot AC \geqslant PC \cdot AB

等号当且仅当L, N, M共线,也就是 A, B, C, P四点共圆的时候取得。这正是托勒密定理。[4]

推广[编辑]

托勒密定理的一个推广是开世定理。开世定理将圆内接四边形的四个顶点换为与外接圆相内切的四个小圆,而四边形的边变为圆与圆之间的外公切线。开世定理可以看做是“利用托勒密定理惨淡经营得到的结果”[5]

对一般的四边形,托勒密定理给出了它的对角线与边长之间的不等关系。如果要掌握更为精确的关系,可以通过以下的公式:

AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2  - 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot \cos(\angle ABC + \angle ADC)[6]

由这个公式可以推出托勒密定理:\cos(\angle ABC + \angle ADC)的绝对值小于等于1,所以

AC^2 \cdot BD^2 = AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2  - 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot \cos(\angle ABC + \angle ADC)
. \quad \leqslant AB^2 \cdot CD^2 + BC^2 \cdot AD^2  + 2 AB \cdot BC\cdot CD\cdot DA \cdot

也就是说

(AC \cdot BD)^2 \leqslant (AB \cdot CD + BC \cdot AD)^2
AC \cdot BD \leqslant AB \cdot CD + BC \cdot AD


等号仅在\cos(\angle ABC + \angle ADC) = -1,也就是说\angle ABC + \angle ADC = \pi 的时候取到,这正好等价于四边形内接于圆。

参见[编辑]

参考与注释[编辑]

  1. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第51页
  2. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第52页
  3. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第117页
  4. ^ (英文)Harold Scott Macdonald Coxeter, Samuel L. Greitzer. Geometry revisited. The Mathematical Association of America; 1ST edition. 1967. ISBN 978-0883856192. ,p.42
  5. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第102-103页,原文如此
  6. ^ R.A.约翰逊,《近代欧氏几何学》,第54页

参考书籍[编辑]