托里拆利小號

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GabrielHorn.png

托里拆利小號(Torricelli's Trumpet)是由義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利(Evangelista Torricelli)所發明的一個表面積無限大但體積有限的三維形狀。此形狀又被稱為加百利號角(Gabriel's Horn),根據宗教傳說,天使長加百利吹號角以宣布審判日(Judgment Day)的到來。

數學定義[编辑]

這個形狀是由y=1/x(x的域為x \ge 1)的曲線沿x軸旋轉而成。這個發現是在微積分發明前用祖暅原理得出的。

使用旋轉體的體積(V)和旋轉曲面的面積(A)公式,可得:

V = \int_1^{\infty} \pi y^2 \mathrm{d}x =  \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \pi

A = \int_1^{\infty} 2 \pi y \sqrt{ 1 + ( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} )^2 } \mathrm{d}x = 2 \pi \int_1^{\infty} \frac{ \sqrt{ 1 + \frac{1}{x^4} } }{x} \mathrm{d}x > 2 \pi \int_1^{\infty} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = {\infty}