扩展形式的博弈

博弈论中，与正則形式相应，扩展形式通过树来描述博弈。每个节点（称作决策节点）表示博弈进行中的每一个可能的状态。博弈从唯一的初始节点开始，通过由参与者决定的路径到达终端节点，此时博弈结束，参与者得到相应的收益。每个非终端节点只属于一个参与者；参与者在该节点选择其可能的行动，每个可能的行动通过边从该节点到达另一个节点。

和正则形式不同，扩展形式允许互动的显式模型（explicit modeling of interactions），互动中，一个参与者可以在博弈中多次行动，并且在不同的状态中可以做出不同的行为。

表述

完整的扩展形式表述包括：

1. 博弈中的参与者
2. 每个参与者能行动的所有机会。
3. 每个参与者在行动时的选择
4. 每个参与者在行动时所知道的情况
5. 每个参与者通过各种可能的行动之后的收益。

一个扩展形式的博弈

右图是一个双人博弈：1和2。每个非终端节点上的数字表示该节点所属的参与者。终端节点上的数字表示参与者的收益（例如:2,1表示参与者1得到2，参与者2得到1）。图片里每个边上的符号是这个边所代表的行动的名字。

初始节点属于参与者1，表示该参与者先动。博弈顺序如下：参与者1选择U或者D；参与者2观察到参与者1的选择，然后选择U' 或者D' ，最后得到最终收益。四个终端节点代表四个结果：(U,U')，(U,D')，(D,U')和(D,D')。每个结果得到的收益分别是(0,0)，(2,1)，(1,2)和(3,1)。

如果参与者1选择D，参与者2为了最大化收益，会选择U'，最后参与者1只能得到1。但是如果参与者1选择U，参与者2为了最大化收益，会选择D' ，此时参与者1得到2。所以参与者1会选择U，参与者2选择D' 。即是子博弈完美均衡

无限行动空间

参与者在一个特定的决策节点上可能有无数种可能的行动可以选择。 其表示方法是用扇形來表示，直觀上可以想像作從節點到圓弧上有無數個邊。 如果行动空间是在两个数字之间的閉連續集（continuum）'[a,b]'，那么該連續集的兩個界限a,b需要分别被放在弧的上方和下方。除此之外，我們常会用一个变量来表示參與者支付的代價。

这种表示方式也可以用在一个有限的行动空间中，只要该行动空间大到不太可能用边来表示每个行动。

用扩展形式中无限行动空间表示的博弈

左侧的树表示这样一个博弈：该博弈或者有一个无限行动空间（任何0到5000的实数），它表示两个参与Stackelberg竞争的企业。其中q1和q2表示他们采用的策略所支付的成本，c1和c2是常数（表示公司的机会成本）。

不論第一個參與者支付q1的數量是多少，第二個參與者的最優支付函数(也就是第二個參與者藉由觀察第一個參與者所決定的行動)，可以透過对第二個參與者的收益函数對 q2 求極值點後，再把 q2 當成應變數，求解 q2 得到。

如此一來，第一個參與者便藉此知道第二個參與者的行動，並藉以做決策。

將第二個參與者的最優支付函數 q2 代入第一個參與者的收益函數後，將此收益函數對 q1 求極值點，便可得到最優的支付策略 q1*

將 q1* 代入第二個參與者的收益函数，並將此收益函數對q2求極值點，得到最優支付策略 q2*

，就可得到该博弈的子博弈完美纳什均衡 (q1*,q2*)

不完美信息

树图清楚地表示了参与者1先动，参与者2观察到参与者1的行动。然而，一些博弈并不是这样。参与者并不是一直能观察到另一个人的选择（例如，同时行动或者行动被隐藏）。信息集是决策节点的组合：

1. 每个节点都属于一个参与者。
2. 参与者无法区分信息集里的多个节点。也就是说：如果信息集有多个节点，信息集所属的参与者就不知道能往哪个节点移动。

扩展形式中的不完美信息

完美信息的博弈是指在博弈的任何阶段，每个参与者都清楚博弈之前发生的所有行动，也即每个信息集都是一个单元素集合。没有完美信息的博弈具有不完美信息。

左图中的博弈中，参与者2行动时不知道参与者1的选择，除此之外和第一个博弈相同。第一个博弈具有完美信息；而左图中的没有。如果两个参与者都是理性的，并且都知道对方也是理性人，对方知道的信息，自己也能获得（即参与者1知道参与者2知道参与者1是理性的，参与者2同样也知道，如此循环下去），

公理的公式化

博弈论是一种数学理论，所以上述的博弈树结构可以转化为公式表达。

扩展形式的有限树是这样一个结构 $\Gamma = \langle\mathcal{K}, \mathbf{H}, [ (\mathbf{H}_i)_{i \in \mathcal{I} } ], \{ A(H) \}_{H \in \mathbf{H} } ], a , \rho, u \rangle$ 其中：

• $\mathcal{K} = \langle V, v^0, T, p\rangle$ 表示一个有限的树。$V$是树的所有节点， $v^0 \in V$表示唯一的初始节点，$T \subset V$表示所有的终端节点 ($D = V \setminus T$ 是决策节点)以及函数 $p: V \rightarrow D$表示博弈的规则，
• $\mathbf{H}$表示$D$里包含的信息，
• $A(H)$ 是信息集$H \in \mathbf{H}$所允许的可能的行动。所有的行动表示为 $\mathcal{A}$。

参见

• 博弈论
• 序贯博弈
• Combinatorial game theory
• 完美信息
• 完全信息
• Signalling
• Solution concept
• 子博弈

参考资料

• Dresher M. (1961). The mathematics of games of strategy: theory and applications (Ch4: Games in extensive form, pp74--78). Rand Corp. ISBN 0-486-64216-X
• Fudenberg D and Tirole J. (1991) Game theory (Ch3 Extensive form games, pp67-106). Mit press. ISBN 0-262-06141-4
• Luce R.D. and Raiffa H. (1957). Games and decisions: introduction and critical survey. (Ch3: Extensive and Normal Forms, pp39-55). Wiley New York. ISBN 0-486-65943-7
• Osborne MJ and Rubenstein A. 1994. A course in game theory (Ch6 Extensive game with perfect information, pp. 89-115). MIT press. ISBN 0-262-65040-1