抽象指标记号

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抽象指标记号英语abstract index notation)是由罗杰·彭罗斯发明的一种用来表示张量旋量的数学记号。与不带指标的字母(如T)表示张量相比,这种表示法能够显示张量的类型,同时可清楚地表明缩并等运算。而与用分量(张量在某一特定基底下的分量)表示张量不同,该表示法与特定的基底无关,可以表示出张量等式。

假定V向量空间V*是其对偶空间。定义二阶协变张量h\in V^*\otimes V^*,则hV上的双线性映射,即可表示为(以两个“槽”表示V中的两个变量):

h = h(-,-).\,

抽象指标记号便是通过拉丁字母代替“槽”来表示上式:

h = h_{ab}.\,

当协变指标(下标,表示V*中张量)与逆变指标(上标,表示V中张量)重复时表示进行缩并运算,如:

{t_{ab}}^b

即表示t = {t_{ab}}^c对后两个“槽”进行缩并的迹。这种表示缩并的方式与爱因斯坦求和约定类似,但此表示法只是抽象的记号而已,并不表示求和运算。

参考文献[编辑]

  • Roger Penrose. The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe. 2004 (英文). 
  • Roger Penrose & Wolfgang Rindler. Spinors and space-time, volume I, two-spinor calculus and relativistic fields (英文). 
  • 梁灿彬、周彬. 《微分几何入门与广义相对论》. 科学出版社. 2006.