拉回 (微分几何)

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微分几何中,拉回是将一个流形上某种结构转移到另一个流形上的一种方法。具体地说,假设 φ:MN 是从光滑流形 MN光滑映射;那么伴随有一个从 N 上 1- 形式(余切丛截面)到 M 上 1-形式的线性映射,这个映射称为由 φ 拉回,经常记作 φ*。更一般地,任何 N共变张量场——特别是任何微分形式——都可以由 φ 拉回到 M 上。

当映射 φ微分同胚,那么拉回与前推一起,可以将任何 N 上的张量场变换到 M,或者相反。特别地,如果 φRn 的开集与 Rn 之间的微分同胚,视为坐标变换(也许在流形 M 上不同的坐标卡上),那么拉回和前推描述了共变反变张量用更传统方式(用基)表述的变换性质。

拉回概念背后的本质很简单,是一个函数和另外一个函数的前复合。但是将这种想法运用到许多不同的情形,可以构造许多复杂的拉回。本文从简单的操作开始,然后利用它们构造更复杂的。粗略地讲,拉回手法(利用前复合)将微分几何中多种不同的结构变成反变函子

光滑函数与光滑映射[编辑]

设 φ:MN 是光滑流形 MN 之间的光滑映射,假设 f:NRN 上一个光滑函数。则 f 通过 φ 的拉回是 M 上的光滑函数 φ*f,定义为 (φ*f)(x) = f(φ(x))。类似地,如果 fN开集 U 上的光滑函数,则相同的公式定义了 M 中开集 φ-1(U) 上一个光滑函数。用的语言说,拉回定义了 N光滑函数层到 φ 的直接像(在 M 上光滑函数层中)的一个态射。

更一般地,如果 f:NA 是从 N 到任意其他流形 A 的的光滑映射,则φ*f(x)=f(φ(x)) 是从 MA 的一个光滑映射。

丛与截面[编辑]

如果 EN 上一个向量丛(或任意纤维丛),φ:MN 是光滑映射,那么拉回丛 φ*EM 上一个向量丛(或更一般地纤维丛),其 M 中的点 x 处的纤维由 (φ*E)x = Eφ(x) 给出。

在此情形,前复合定义了 E 上截面的一个变换:如果 sNE 的一个截面,那么拉回截面 \varphi^*s=s\circ\varphiM 上拉回丛 φ*E 的一个截面。

多重线性形式[编辑]

设 Φ:VW 是向量空间 VW 之间的一个线性映射(即,Φ 是 L(V,W) 中的元素,也记成 Hom(V,W)),设

F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbb{R}

W 上一个多重线性形式(也称为 (0,s) 阶张量——但不要和张量场混淆——这里 s 是乘积中 W 的因子的个数)。则 F 由 Φ 的拉回 Φ*F 是一个 V 上的多重线性形式,定义为 F 与 Φ 的前复合。准确地,给定 V 中向量 v1,v2,...,vs, Φ*F 由公式定义

(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),

这是 V 上一个多重线性形式。从而 Φ* 是一个从 W 上的多重线性形式到 V 上的多重线性形式的(线性)算子。作为一个特例,注意到如果 FW 上一个线性形式(或 (0,1) -张量),那么 FW对偶空间 W* 中一个元素,则 Φ*FV* 中一个元素,所以拉回定义了对偶空间之间一个线性映射,作用的方向与线性映射 Φ 自己的方向相反:

\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.

从张量的观点来看,自然想把来回这种概念推广到任何阶,即 W 上取值于 rW张量积  W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的线性映射。但是,这种张量积不能自然的拉回:不过有从  V\otimes V\otimes\cdots\otimes V W\otimes W\otimes\cdots\otimes W 的前推算子,定义为

\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).

然而,如果 Φ 可逆,拉回可以用逆函数 Φ-1 的前推定义。将一个可逆线性映射与这两个构造放在一起,得到了对任何 (r,s) 阶张量一个拉回算子。

余切向量与 1 形式[编辑]

φ : MN光滑流形间的光滑映射。那么 φ前推φ* = dφ (或 ),是从 M切丛 TM拉回丛 φ*TN 的(在 M 上)向量丛同态。从而 φ*转置是从 φ*T*NM余切丛 T*M 的丛映射。

现在假设 αT*N 的一个截面N 上一个 1-形式),将 αφ 前复合得到 φ*T*N 的一个拉回截面。将上述(逐点)丛映射应用到截面导致 αφ拉回,是 M 上一个 1-形式,定义为:

 (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X))

x 属于 MX 属于 TxM

(共变)张量场[编辑]

对任何自然数 s,上述构造马上可推广到 (0,s) 阶张量丛上。流形 N 上 (0,s) 张量场N 上张量丛的一个截面,在 Ny 点的截面是多重线性 s-形式空间

 F\colon T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.

取 Φ 等于从 MN 的一个光滑映射的微分(逐点的),多重线性形式的拉回可与截面的拉回复合得出 M 上 (0,s) 张量场的拉回。更确切地,如果 SN 上一个 (0,s)-张量场,那么 Sφ拉回M 上 (0,s)-张量场 φ*S,定义为

 (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_s))\ ,

x 属于 MXj 属于 TxM

微分形式[编辑]

共变张量场拉回的一个特别重要的例子是微分形式的拉回。如果 α 是一个微分 k-形式,即 TN(逐点)反交换 k-形式组成的外丛 ΛkT*N 的一个截面,则 α 的拉回是 M 上一个微分 k-形式,定义与上一节相同:

 (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(X_1),\ldots \mathrm d\varphi_x(X_k))\ ,

x 属于 MXj 属于 TxM

微分形式的拉回有两个性质,使其非常有用。

1. 和楔积相容:假设同上,对 N 上的微分形式 α 与 β,

\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta\ .

2. 和外导数 d 相容:如果 α 是 N 上一个微分形式,则

\varphi^*(\mathrm d\alpha) = \mathrm d(\varphi^*\alpha)\ .

由微分同胚拉回[编辑]

当流形之间的映射 φ微分同胚,即有一个光滑逆函数,则在向量场上也像 1-形式一样定义拉回,从而通过扩张,对流形上任何混合张量场都可拉回。线性映射

\Phi=\mathrm d\varphi_x\in GL(T_xM,T_{\varphi(x)}N)

可逆,给出

\Phi^{-1}={\mathrm d\varphi_x}^{-1} \in GL(T_{\varphi(x)}N, T_xM).

一个一般的混合型张量场通过张量积分解为 TNT*N 两部分,分别用 Φ 与 Φ-1 变换。当 M = N 时,则拉回和前推刻画了流形 M 上张量场的变换性质。用传统术语说,拉回描述了张量共变指标的变换性质;相对地,反变指标的变换性质由前推给出。

由自同构拉回[编辑]

上一节的构造有一个代表性特例,若 φ 是流形 M 到自己的微分同胚。在这种情况下,导数 dφGL(TM,φ*TM) 的一个截面。这样便在通过一个一般线性群 GL(m) (m = dim M) 相配于 M 的标架丛 GL(M) 的任何丛的截面上导出了拉回作用。

拉回与李导数[编辑]

将上述想法应用到由向量场 M 定义的微分同胚单参数群,对参数求导,得到了任意丛上的李导数概念。

联络(共变导数)[编辑]

如果 \nablaN 上向量丛 E联络(或共变导数),φ 是从 MN 的光滑映射,那么在 M 上的向量丛 φ*E 上有拉回联络 \varphi^*\nabla,由等式

(\varphi^*\nabla)_X(\varphi^*s) = \varphi^*(\nabla_{\mathrm d\varphi(X)} s)

惟一确定。

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-42627-2 See sections 1.5 and 1.6.
  • Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See section 1.7 and 2.3.
  • B. A. Dubrovin, et al., Modern Geometry Methods and Applications(Part I), (1999) Beijing World Publishing Corp., ISBN 7-5062-0123-2 See section 22.