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拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏轉換,其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數tt ≥ 0)的函數轉換為一個引數為複數s的函數:

F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.

拉氏變換在大部份的應用中都是對射的,最常見的f(t)和F(s)組合常印製成表,方便查閱。拉普拉斯变换得名自皮埃尔-西蒙·拉普拉斯,他在機率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅里叶变换有關,不過傅里叶变换將一個函數或是信號表示為許多弦波的疊加,而拉氏變換則是將一個函數表示為許多的疊加。拉氏變換常用來求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來分析線性非時變系統,可用來分析電子電路諧振子光学仪器及機械設備。在這些分析中,拉氏變換可以作時域頻域之間的轉換,在時域中輸入和輸出都是時間的函數,在頻域中輸入和輸出則是複變角頻率的函數,單位是弧度每秒。

對於一個簡單的系統,拉氏變換提供另一種系統的描述方程,可以簡化分析系統行為的時間[1]。像時域下的線性非時變系統,在頻域下會轉換為代數方程,在時域下的捲積會變成頻域下的乘法。

正式定义[编辑]

对于所有实数t ≥ 0,函数f(t)的拉普拉斯变换是函数F(s),定义为:

F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt

参数s是一个复数

s = \sigma + i \omega, \,σ和ω为实数。

拉普拉斯变换的其他表示法中使用\displaystyle\mathcal{L}f\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}而非F\mathcal{L} 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dtF(s)\,f(t)\,的拉普拉斯变换结果。

拉普拉斯逆变换[编辑]

拉普拉斯逆变换有许多不同的名称,如维奇积分傅立叶-梅林积分梅林逆公式,是一个积分:

f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,

其中γ是一个使F(s)的积分路径在收敛域内的实数。

拉普拉斯变换的存在性[编辑]

关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是间断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。

拉普拉斯变换的基本性质[编辑]

函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s):

\begin{align}
  f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \} \\
  g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \} 
\end{align}

下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质:[2]

单边拉普拉斯变换的性质
时域 s域 注释
线性叠加  a f(t) + b g(t) \  a F(s) + b G(s) \ 可以用积分的基本规则证明。
时域微分  t f(t) \  -F'(s) \ F′是F的一阶导数
频域微分  t^{n} f(t) \  (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ 更一般的形式是F(s)的n阶导数。
微分  f'(t) \  s F(s) - f(0) \ f是一个可微函数,并且其导数为指数类型。这条性质可以通过分部积分得到。
二阶微分  f''(t) \  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ f为二阶可微且二阶导数是指数型的。通过对f′(t)应用微分性质可得。
一般微分  f^{(n)}(t)  \  s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ fn阶可微,其n阶导数是指数型的。通过数学归纳法证明。
频率积分  \frac{1}{t}f(t)  \  \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ 这是由频率微分和条件收敛推导出来的。
积分  \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)  {1 \over s} F(s) u(t)是阶跃函数,注意到 (uf)(t) 是u(t)和f(t)的卷积
时间标度 f(at)  \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right )  a > 0 \
频率平移  e^{at} f(t)  \  F(s - a) \
时域平移  f(t - a) u(t - a) \  e^{-as} F(s) \ u(t)表示阶跃函数
乘法 f(t)g(t)  \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ 积分沿完全处在F收敛域内的竖直线Re(σ) = c[3]
卷积  (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau  F(s) \cdot G(s) \
复共轭  f^*(t)  F^*(s^*)
互相关  f(t)\star g(t)  F^*(-s^*)\cdot G(s)
周期函数 f(t) {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t)是一个周期T的周期函数,于是对所有t ≥ 0,有'f(t) = f(t + T)。这条性质是时域平移和几何级数的结果。
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.,要求{F(s)}为真分式,即分子的最高次小于分母的最高次,否则使用多项式除法{F(s)}分解
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)},要求sF(s)的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

变换简表[编辑]

原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
收敛区域
 \delta(t) \  1 \  \mathrm{all} \  s \,
 \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \  
 u(t) \  { 1 \over s }  s > 0 \,
 u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  s > 0 \,
 t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  s > 0 \,
 e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   s > 0\
 \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  s > 0  \
 \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  s > 0 \
 \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  s > | \alpha | \
 \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  s > | \alpha | \
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
{  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  s > - \alpha \,
 \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  s > 0 \,
 \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  s > 0 \,
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  s > 0 \,
 (n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  s > | \omega | \,
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}  s > 0 \,
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
 \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)  {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  s > 0 \,

与其他变换的联系[编辑]

  • 与傅里叶变换关系

s = iω或s = 2πfi,有:


\begin{align}
\hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em]
& = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em]
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{align}
  • 与z变换的联系

z 变换表达式为:

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

例子:如何应用此变换及其性质[编辑]

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的;线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算,而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决,由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程,这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程,这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奧利弗·黑維塞第一次提出了一个类似的计划,虽然没有使用拉普拉斯变换;以及由此产生的演算被誉为黑維塞演算。

在工程学上的应用[编辑]

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性系统稳定有着重大意义;在线性系统控制自动化上都有广泛的应用。

相關條目[编辑]

參考書目、資料來源[编辑]

  1. ^ Korn & Korn 1967,§8.1
  2. ^ Korn & Korn 1967,第226–227页
  3. ^ Bracewell 2000,Table 14.1, p. 385
  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師,高立出版社。
  • Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0 .