拉普拉斯变换

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拉普拉斯变换应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏轉換,其符號為 \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數tt ≥ 0)的函數轉換為一個引數為複數s的函數。

有些情形下一个实变量函数在实数域中進行一些運算並不容易,但若將实变量函数作拉普拉斯变换,并在复数域中作各种运算,再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果,往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效,它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理,从而使计算简化。在经典控制理论中,对控制系统的分析和综合,都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点,是可采用传递函数代替常係數微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程,以及提供控制系统調整的可能性。

基本定义[编辑]

如果定义:

f(t)\,拉普拉斯变换由下列式子给出:

F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

双边拉普拉斯变换[编辑]

除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外,双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域:

F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt

拉普拉斯逆变换[编辑]

拉普拉斯逆变换,是已知F(s)\,,求解f(t)\,的过程。用符号  \mathcal{L}^{-1}\,表示。

拉普拉斯逆变换的公式是:

对于所有的t>0\,
f(t) 
  = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
  =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds

c\,是收敛区间的横坐標值,是一个实常数且直线Re(s)=c处在F(s)的收敛域内。

拉普拉斯变换的存在性[编辑]

关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是间断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。

拉普拉斯变换的基本性质[编辑]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}
  • 时域微分(单边拉普拉斯变换)
\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
  • s域微分
\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)
\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]
  • s域积分
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma
\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1
\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\}
  = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}
f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)} ,要求{F(s)}为真分式,即分子的最高次小于分母的最高次,否则使用多项式除法{F(s)}分解
f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)} ,要求{F(s)}的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。
终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现,且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面,那么系统的终值未定义(例如:e^t\,\sin(t)\,)。
  • s域平移
\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
  = F(s - a)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
  = e^{at} f(t)
  • 时域平移
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{-as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)
注: u(t)\, 表示阶跃函数.
\mathcal{L} \left\{f(t) * g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}*\mathcal{L}\{ g(t) \} ,c\,是收敛区间的横坐标值,是一个实常数且大于所有F(\sigma)\,的个别点的实部值。
\mathcal{L}\left\{f(t) * g(t)\right\}
  =  \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}* \mathcal{L}\{ g(t) \}

变换简表[编辑]

原函数
f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
转换后函数
F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
收敛区域
 \delta(t) \  1 \  \mathrm{all} \  s \,
 \delta(t-\tau) \  e^{-\tau s} \  
 u(t) \  { 1 \over s }  s > 0 \,
 u(t-\tau) \  { e^{-\tau s} \over s }  s > 0 \,
 t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2}  s > 0 \,
 e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \  { 1 \over s+\alpha }   s > - \alpha \
( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)}   s > 0\
 \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over s^2 + \omega^2  }  s > 0  \
 \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 + \omega^2  }  s > 0 \
 \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \  { \alpha \over s^2 - \alpha^2 }  s > | \alpha | \
 \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \  { s \over s^2 - \alpha^2  }  s > | \alpha | \
e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \  { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \  { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  }  s > -\alpha \
{  t^n \over n! } \cdot u(t)  { 1 \over s^{n+1} }  s > 0 \,
\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}  s > - \alpha \,
 \sqrt[n]{t} \cdot u(t)  s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)  s > 0 \,
 \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)  - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ]  s > 0 \,
 J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}  s > 0 \,
 (n > -1) \,
I_n(\omega t) \cdot u(t)  \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}  s > | \omega | \,
 Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}  s > 0 \,
 K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
 \mathrm{erf}(t) \cdot u(t)  {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}  s > 0 \,

与其他变换的联系[编辑]

  • 与傅里叶变换关系

s = iω或s = 2πfi,有:


\begin{align}
\hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em]
& = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em]
& = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\
\end{align}
  • 与z变换的联系

z 变换表达式为:

 X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

其中 z \leftarrow e^{s T} \ . 比较两者表达式有:

X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

例子:如何应用此变换及其性质[编辑]

拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的;线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算,而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决,由于它的代数形式。

拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程,这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程,这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奧利弗·黑維塞第一次提出了一个类似的计划,虽然没有使用拉普拉斯变换;以及由此产生的演算被誉为黑維塞演算。

在工程学上的应用[编辑]

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性系统稳定有着重大意义;在线性系统控制自动化上都有广泛的应用。

相關條目[编辑]

參考書目、資料來源[编辑]

  • 電機電子類科《工程數學》,ISBN 957-584-377-0,作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師,高立出版社。