# 拉普拉斯变换

$F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.$

## 正式定义

$F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt$

$s = \sigma + i \omega, \,$σ和ω为实数。

### 拉普拉斯逆变换

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,$

## 拉普拉斯变换的基本性质

\begin{align} f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \} \\ g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \} \end{align}

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.$，要求${F(s)}$为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法${F(s)}$分解
$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$，要求sF(s)的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

## 变换简表

 原函数 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$ 转换后函数 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$ 收敛区域 $\delta(t) \$ $1 \$ $\mathrm{all} \ s \,$ $\delta(t-\tau) \$ $e^{-\tau s} \$ $u(t) \$ ${ 1 \over s }$ $s > 0 \,$ $u(t-\tau) \$ ${ e^{-\tau s} \over s }$ $s > 0 \,$ $t \cdot u(t)\$ $\frac{1}{s^2}$ $s > 0 \,$ $e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$ ${ 1 \over s+\alpha }$ $s > - \alpha \$ $( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$ $\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$ $s > 0\$ $\sin(\omega t) \cdot u(t) \$ ${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$ $s > 0 \$ $\cos(\omega t) \cdot u(t) \$ ${ s \over s^2 + \omega^2 }$ $s > 0 \$ $\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$ ${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$ $s > | \alpha | \$ $\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$ ${ s \over s^2 - \alpha^2 }$ $s > | \alpha | \$ $e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$ ${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$ $s > -\alpha \$ $e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$ ${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$ $s > -\alpha \$ ${ t^n \over n! } \cdot u(t)$ ${ 1 \over s^{n+1} }$ $s > 0 \,$ $\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$ $\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$ $s > - \alpha \,$ $\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$ $s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$ $s > 0 \,$ $\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$ $- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$ $s > 0 \,$ $J_n( \omega t) \cdot u(t)$ $\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$ $s > 0 \,$ $(n > -1) \,$ $I_n(\omega t) \cdot u(t)$ $\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$ $s > | \omega | \,$ $Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$ $-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$ $s > 0 \,$ $K_0(\alpha t) \cdot u(t)$ $\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$ ${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$ $s > 0 \,$

## 与其他变换的联系

• 与傅里叶变换关系

s = iω或s = 2πfi，有：

\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}
• 与z变换的联系

z 变换表达式为：

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

$X_q(s) = X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$


## 參考書目、資料來源

1. ^ Korn & Korn 1967，§8.1
2. ^ Korn & Korn 1967，第226–227页
3. ^ Bracewell 2000，Table 14.1, p. 385
• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師，高立出版社。
• Korn, G. A.; Korn, T. M., Mathematical Handbook for Scientists and Engineers 2nd, McGraw-Hill Companies, 1967, ISBN 0-07-035370-0.