拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏轉換，其符號為$\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有引數實數t（t ≥ 0）的函數轉換為一個引數為複數s的函數。

有些情形下一个实变量函数在实数域中進行一些運算並不容易，但若將实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替常係數微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统調整的可能性。

基本定义

如果定义：

• $f(t)\,$是一个关于$t\,$的函数，使得当$t<0\,$时候，$f(t)=0\,$；
• $s\,$ 是一个复变量；
• $\mathcal{L}$ 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分$\int_0^\infty e^{-st}\,dt$；$F(s)\,$是$f(t)\,$的拉普拉斯变换结果。

则$f(t)\,$的拉普拉斯变换由下列式子给出：

$F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{0}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt$

双边拉普拉斯变换

除了普遍使用的单边拉普拉斯变换外，双边拉普拉斯变换是将单边变换积分范围扩大为整个实数区域：

$F(s)\,=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\}=\int_{-\infty}^\infty f(t)\,e^{-st} \,dt$

拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换，是已知$F(s)\,$，求解$f(t)\,$的过程。用符号 $\mathcal{L}^{-1}\,$表示。

拉普拉斯逆变换的公式是：

对于所有的$t>0\,$；

$f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} =\frac{1}{2\pi j}\int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)\,e^{st} \,ds$

$c\,$是收敛区间的横座標值，是一个实常数且直线$Re(s)=c$处在$F(s)$的收敛域内。

拉普拉斯变换的存在性

关于一个函数$f(t)\,$的拉普拉斯变换，只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说，$f(t)\,$必须是在对于$t>0\,$的每一个有限区间内都是片断性连续的，且当$t\,$趋于无穷大的时候，$f(t)\,$是指数阶地变化。

拉普拉斯变换的基本性质

• 线性叠加

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

• 时域微分（单边拉普拉斯变换）

$\mathcal{L}\{f'\} = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''\} = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\} = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

• s域微分

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

• s域积分

$\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma$

$\mathcal{L} \left\{\frac{f(t)}{t^n}\right\} = \int_s^{\infty} \int_{\sigma_1}^{\infty} \cdots \int_{\sigma_{n-1}}^{\infty} F(\sigma_{n}) \, d\sigma_{n} \cdots \, d\sigma_2 \, d\sigma_1$

• 时域积分

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = \mathcal{L}\left\{ 1 * f(t)\right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

• 初值定理

$f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}$ ，要求${F(s)}$为真分式，即分子的最高次小于分母的最高次，否则使用多项式除法将${F(s)}$分解

• 终值定理

$f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)}$　，要求${F(s)}$的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

终值定理的实用性在于它能预见到系统的长期表现，且避免部分分式展开。如果函数的极点在右半平面，那么系统的终值未定义(例如：$e^t\,$ 或 $\sin(t)\,$)。

• $s$域平移

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s - a)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\} = e^{at} f(t)$

• 时域平移

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

注: $u(t)\,$ 表示阶跃函数.

• 卷积

$\mathcal{L} \left\{f(t)g(t)\right\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ = \frac{1}{2\pi i} \mathcal{L}\{ f(t) \}*\mathcal{L}\{ g(t) \}$　，$c\,$是收敛区间的横坐标值，是一个实常数且大于所有$F(\sigma)\,$的个别点的实部值。

$\mathcal{L}\{f(t) * g(t)\} = \mathcal{L}\{ f(t) \} \mathcal{L}\{ g(t) \}$

变换简表

原函数 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}$	转换后函数 $F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}$	收敛区域
$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{all} \ s \,$
$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > | \alpha | \$
$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$s > 0 \,$
$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > | \omega | \,$
$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$	$-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$	$s > 0 \,$
$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}$	$s > 0 \,$

与其他变换的联系

• 与傅里叶变换关系

令s = iω or s = 2πfi, 有：

$\begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i\omega} = F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$

• 与z变换的联系

z 变换表达式为：

$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$

其中$z \leftarrow e^{s T} \$. 比较两者表达式有：

$X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.$

在工程学上的应用

应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示，对于分析系统特性，系统稳定有着重大意义；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。

相關條目

• z轉換
• 微分方程
• 线性系统
• 傅立葉變換
• 信号处理
• 微分几何中的拉普拉斯算子

參考書目、資料來源

• 電機電子類科《工程數學》，ISBN 957-584-377-0，作者陳锡冠、胡曦、周祯晖老師，高立出版社。