拉開

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數學中,拉開(法文:éclatement,英文:blowing up)、單項變換σ-過程是一種幾何的操作,代數幾何中的應用尤重。拉開是雙有理幾何的基本工具。對代數簇複流形 M 上一點 Z 的拉開是將該點換為該點法叢射影叢,或者具體地說是換為該點切空間的射影空間,從而得到拉開態射 \mathrm{Bl}_Z:  \tilde{M} \rightarrow M,這是一個雙有理等價。對較高維子流形也能定義拉開。

當代代數幾何學將拉開視為對概形的內在操作,然而拉開也有外在的描述法,例如取一平面曲線,並對它所處的射影平面作某類變換;這是古典的進路,其想法至今仍反映於用語上。

對仿射空間中一點作拉開[编辑]

以下僅考慮複數\mathbb{C} 上的情形,一般構造準此可知。

Z 為複仿射空間 \mathbb{C}^n 的原點,仿射空間的元素以坐標表為 (x_1, \ldots, x_n)。令 \mathbb{P}^{n - 1}(n - 1)-維複射影空間,其元素以齊次坐標表示為 (y_1 : \ldots : y_n)。 令 \tilde{\mathbb{C}^n}\mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1} 中由等式 x_i y_j = x_j y_i 定義之閉子集,其中 i, j = 1, \ldots, n。則投影態射

\pi : \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1} \to \mathbb{C}^n

自然地導出態射(特別也是全純函數

\pi : \tilde{\mathbb{C}^n} \to \mathbb{C}^n.

此態射 \pi(或者更常指空間 \tilde{\mathbb{C}^n})稱為 \mathbb{C}^n拉開

例外除數 E 定義為 Z 對態射 \pi 的逆像。可以證明

E = Z \times \mathbb{P}^{n - 1} \subseteq \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{n - 1}

同構於射影空間。它是個非負除數,而且在 E 之外 \pi:  \tilde{\mathbb{C}^n} \setminus E \rightarrow \mathbb{C}^n \setminus Z 是同構。因此 \pi\tilde{\mathbb{C}^n}\mathbb{C}^n 之同構。

對複流形的子流形作拉開[编辑]

一般來說,我們可以開任何餘維為 k 的複子流形 Z \subset \mathbb{C}^n。設 Z 由方程式 x_1 = \cdots = x_k = 0定義,並設 (y_1: \ldots : y_k)\mathbb{P}^{k - 1} 上的齊次坐標。沿 Z 的拉開 \tilde{\mathbb{C}^n} 定義為方程 x_i y_j = x_j y_i(對所有 i, j )在空間 \mathbb{C}^n \times \mathbb{P}^{k - 1} 中定義的閉子集。

進一步推廣,我們可拉開任何複流形 X 的任一複子流形 Z,方式是局部上化約到上述情形,拉開後再予以黏合。效果依然,我們將 Z 拉開為例外除子 E。而拉開態射

\pi : \tilde X \to X

依然是雙有理的,並在 E 外是同構。 E 可自然地視作 Z法叢的射影化,因此 \pi|_E : E \to Z 局部上是纖維化映射,其纖維為 \mathbb{P}^{k - 1}

由於 E 是平滑除子,其法叢為線叢。對於曲面的情形,可證明 E 的自相交數為負,這表明其法叢沒有整體上定義的截面。E 是其同調類在 \tilde X 上的唯一代表,原因在於:假設 E 經擾動後變為代表同一同調類的另一個複子流形,則它和 E 的相交數必為正,故矛盾。這是例外除子之所以「例外」之故。

V 維某個 X 中不等於 Z 的複子流形。若 V 不交 Z,則它本質上不受沿 Z 的拉開影響。然而若有相交,則 V\tilde X 中導出兩個幾何對象:一者是真變換或稱嚴格變換,它是 \pi^{-1}(V \setminus Z)\tilde X 中的閉包,其法叢一般與 V 的不同。另一者是全變換,包含 E 的全體或一部分,其同調類基本上是 V上同調類之拉回。

推廣:概形的拉開[编辑]

拉開可以在一般的概形上定義。令 X 為一概形,並設 \mathcal{I} 為其上一凝聚理想層,X 沿 \mathcal{I} 的拉開是概形 \tilde{X}真態射

\pi: \tilde{X} \rightarrow X

使得 \pi^{-1} \mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_Y可逆層,此拉開由下述泛性質刻劃:

對任何態射 f: Y \rightarrow X,若它使得 f^{-1} \mathcal{I} \cdot
\mathcal{O}_Y 是可逆層,則 f 唯一地透過 \pi 分解。

此拉開可具體地由

\tilde{X}=\mathbf{Proj} (\oplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{I}^n)

構造。當 X擬射影概形時,\pi 將是射影態射

重要性質[编辑]

與有理映射的關係[编辑]

與奇點解消的關係[编辑]

曲面的拉開[编辑]

在平滑的射影曲面上,任何雙有理等價皆可分解為一系列的拉開與縮回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分類中的基本工具:

定理 . 設 X 為平滑射影曲面,D = \sum C_iX 上一個既約除數,若其相交矩陣 (C_i \cdot C_j)_{ij} 負定,則 X 可表成某個代數曲面的拉開,使得 D 為其例外除數。

相交理論[编辑]

相關的建構[编辑]

向法錐變形[编辑]

向法錐變形的技術可以證明代數幾何中的許多結果。給定一個概形 X 及其閉子概形 V,我們在 Y := X \times \mathbb{A}^1 中拉開 V \times (0),則

\tilde Y \to X \times \mathbb{A}^1

是纖維化映射。沿著 \mathbb{A}^1 的一般纖維自然同構於 X,而中心纖維則是兩個概形的并集:一者是 X 沿 V 的拉開;另一者則是 V 的法錐,其中我們將纖維緊化為射影空間。

辛流形的拉開[编辑]

拉開也可以在辛流形範疇中施行,稱作辛拉開。方式是將辛流形賦予殆複結構,然後仿照複拉開的模式。然而這僅在拓撲層次上有意義,我們必須小心地為拉開後的空間賦予一個辛形式,因為我們不能任意將辛形式沿例外除數 E 延拓,而必須在 E 的一個鄰域上修改之;或藉著將 Z 的一個開鄰域切下,然後適當地折疊邊界以完成拉開。較好的理解方式是利用辛切割的一般理論,其中辛拉開只是個特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除數向法錐變形的類比。

文獻[编辑]

  • Fulton, William. Intersection Theory. Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98549-2. 
  • Griffiths, Phillip and Harris, Joseph. Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. 1978. ISBN 0-471-32792-1. 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geometry. Springer-Verlag. 1977. ISBN 0-387-90244-9. 
  • McDuff, Dusa and Salamon, Dietmar. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. 1998. ISBN 0-19-850451-9.