拋物線坐標系

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拋物線坐標系的綠色的 \sigma 等值曲線和紅色的 \tau 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。

拋物線坐標系是一種二維正交坐標系,兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉,則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上,拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如,斯塔克效應 (Stark effect) ,物體邊緣的位勢論,以及拉普拉斯-龍格-冷次向量保守性

二維拋物線坐標系[编辑]

直角坐標 (x,\ y) 可以用二維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 表示為

x = \pm\,\sigma \tau
y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)

其中,\sigma\ge 0\tau\ge 0

反算回來,二維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 可以用直角坐標 (x,\ y) 表示為

\sigma=\sqrt{ - y +\sqrt{x^2+y^2}}
\tau=\sqrt{y +\sqrt{x^2+y^2}}

坐標 \sigma 為常數的曲線形成共焦的,凹性向上的(往 +y-軸)拋物線

2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

而坐標 \tau 為常數的曲線形成共焦的,凹性向下的(往 -y-軸)拋物線

2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子[编辑]

拋物線坐標 (\sigma,\ \tau) 的標度因子相等:

h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}

因此,面積的無窮小元素是

dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau

拉普拉斯算子

\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left(  \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\sigma,\ \tau) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系[编辑]

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 \tau=2 。藍色的拋物曲面的坐標 \sigma=1 。黃色的半平面的坐標 \phi= - 60^\circ 。三個面相交於點 \mathbf{P}= (1.0, -1.732, 1.5) (以黑色小球表示)。

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉,則可以得到三維的拋物線坐標系,又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線;而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 (x,\ y,\ z) 可以用三維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 表示為

x=\sigma\tau\cos\phi
y=\sigma\tau\sin\phi
z=\frac{1}{2}\left(\tau^{2} - \sigma^{2}\right)

其中,\sigma\ge 0\tau\ge 0 ,方位角 \phi 定義為

\tan \phi = \frac{y}{x},\qquad 0\le \phi\le 2\pi

反算回來,三維拋物線坐標 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 可以用直角坐標 (x,\ y,\ z) 表示為

\sigma=\sqrt{ - z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\tau=\sqrt{z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\phi =\tan^{ - 1}\frac{y}{x}

每一個 \sigma-坐標曲面都是共焦的,凹性向上的(往 +z-軸)拋物曲面

2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}

而每一個 \tau>-坐標曲面都是共焦的,凹性向下的(往 -z-軸)拋物曲面

2z = - \frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子[编辑]

三維標度因子為:

h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}
h_{\tau}   = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}
h_{\phi} = \sigma\tau\,

我們可以觀察出,標度因子 h_{\sigma}h_{\tau} 與二維標度因子相同。因此,體積的無窮小元素是

dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi

拉普拉斯算子

\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}

其它微分算子,像 \nabla \cdot \mathbf{F}\nabla \times \mathbf{F} ,都可以用 (\sigma,\ \tau,\ \phi) 坐標表示,只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述[编辑]

另外還有一種拋物線坐標系的表述,專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式,則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法,可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性.

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式:

 \eta ={ - z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
 \xi ={z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
 \phi =\arctan {y \over x}

假若 \phi=0 ,則可得到一片截面;其坐標被限制於 x\ge 0 的 +xz-半平面:

 \eta = - z + \sqrt{ x^2 + z^2}
 \xi =z + \sqrt{ x^2 + z^2}

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \eta 是一個常數,\eta=c ,則

 \left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}

這是一個共焦點在原點的拋物線;對稱軸與 z-軸同軸;凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 \xi 是一個常數,\xi=b ,則

 \left. z \right|_{\xi = b} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}

這也是一個共焦點在原點的拋物線;對稱軸與 z-軸同軸;凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 \eta=c 與任何一條向下的拋物線 \xi=b ,我們想要求得兩條曲線的相交點:

 {x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}

稍微計算,可得

x=\sqrt{bc}

將相交點的横坐標 x 代入向上的拋物線的公式,

z_c= {bc\over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2}

所以,相交點 P 坐標為 \left(\sqrt{bc},\ {b - c \over 2}\right)

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c

向下的拋物線的切線的斜率為

{dz_b\over dx}= - {x \over b}= - \sqrt{c\over b}= s_b

兩個斜率的乘積為

s_c s_b= - 1

所以,兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線,都會有同樣的結果。

假設 \phi\ne 0 。讓 \phi 值從 0 緩慢增值,這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉;拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 \phi 值設定的半平面,切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是[1]

 x = \sqrt{\eta\xi}\ \cos \phi
 y = \sqrt{\eta\xi}\ \sin \phi
 z =\frac{1}{2}(\xi - \eta)

參考文獻[编辑]

  • Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 185–186. 
  • Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 180. 
  • Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. 
  • Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 
  • Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)//Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302. 
  1. ^ Menzel, Donald H. Mathematical Physics. United States of America: Dover Publications. 1961: pp. 139. ISBN 978-0486600567 (English).