拋物線坐標系

拋物線坐標系的綠色的 $\sigma$ 等值曲線和紅色的 $\tau$ 等值曲線。横軸與縱軸分別為 x-軸與 y-軸。

拋物線坐標系是一種二維正交坐標系，兩個坐標的等值曲線都是共焦的拋物線。將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系。

實際上，拋物線坐標可以應用在許多物理問題。例如，斯塔克效應 (Stark effect) ，物體邊緣的位勢論，以及拉普拉斯-龍格-冷次向量的保守性。

二維拋物線坐標系

直角坐標 $(x,\ y)$ 可以用二維拋物線坐標 $(\sigma,\ \tau)$ 表示為

$x = \pm\,\sigma \tau$ 、

$y = \frac{1}{2} \left( \tau^{2} - \sigma^{2} \right)$ ；

其中，$\sigma\ge 0$ ，$\tau\ge 0$ 。

反算回來，二維拋物線坐標 $(\sigma,\ \tau)$ 可以用直角坐標 $(x,\ y)$ 表示為

$\sigma=\sqrt{ - y +\sqrt{x^2+y^2}}$ 、

$\tau=\sqrt{y +\sqrt{x^2+y^2}}$ 。

坐標 $\sigma$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向上的（往 +y-軸）拋物線：

$2y = \frac{x^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$ ，

而坐標 $\tau$ 為常數的曲線形成共焦的，凹性向下的（往 -y-軸）拋物線：

$2y = - \frac{x^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$ 。

這些拋物線的焦點的位置都在原點。

二維標度因子

拋物線坐標 $(\sigma,\ \tau)$ 的標度因子相等：

$h_{\sigma} = h_{\tau} = \sqrt{\sigma^{2} + \tau^{2}}$ 。

因此，面積的無窮小元素是

$dA = \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) d\sigma d\tau$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left( \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \sigma^{2}} + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \tau^{2}} \right)$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ ， $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\sigma,\ \tau)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系條目內的一般公式。

三維拋物線坐標系

三維拋物線坐標的坐標曲面。紅色的拋物曲面的坐標 $\tau=2$ 。藍色的拋物曲面的坐標 $\sigma=1$ 。黃色的半平面的坐標 $\phi= - 60^\circ$ 。三個面相交於點 $\mathbf{P}= (1.0, -1.732, 1.5)$ （以黑色小球表示）。

將二維的拋物線坐標系繞著拋物線的對稱軸旋轉，則可以得到三維的拋物線坐標系，又稱為旋轉拋物線坐標系。將對稱軸與 z-軸排列成同直線；而拋物線坐標系的共焦點與直角坐標系的原點同地點。直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 可以用三維拋物線坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 表示為

$x=\sigma\tau\cos\phi$ 、

$y=\sigma\tau\sin\phi$ 、

$z=\frac{1}{2}\left(\tau^{2} - \sigma^{2}\right)$ ；

其中，$\sigma\ge 0$ ，$\tau\ge 0$ ，方位角 $\phi$ 定義為

$\tan \phi = \frac{y}{x},\qquad 0\le \phi\le 2\pi$ 。

反算回來，三維拋物線坐標 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 可以用直角坐標 $(x,\ y,\ z)$ 表示為

$\sigma=\sqrt{ - z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\tau=\sqrt{z +\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\phi =\tan^{ - 1}\frac{y}{x}$ 。

每一個 $\sigma$-坐標曲面都是共焦的，凹性向上的（往 +z-軸）拋物曲面：

$2z = \frac{x^{2} + y^{2}}{\sigma^{2}} - \sigma^{2}$ ，

而每一個 $\tau$>-坐標曲面都是共焦的，凹性向下的（往 -z-軸）拋物曲面：

$2z = - \frac{x^{2} + y^{2}}{\tau^{2}} + \tau^{2}$ 。

這些拋物曲面的焦點的位置都在原點。

三維標度因子

三維標度因子為：

$h_{\sigma} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$ 、

$h_{\tau} = \sqrt{\sigma^2+\tau^2}$ 、

$h_{\phi} = \sigma\tau\,$ 。

我們可以觀察出，標度因子 $h_{\sigma}$ ， $h_{\tau}$ 與二維標度因子相同。因此，體積的無窮小元素是

$dV = h_\sigma h_\tau h_\phi = \sigma\tau \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)\,d\sigma\,d\tau\,d\phi$ 。

拉普拉斯算子是

$\nabla^2 \Phi = \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}}\left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \sigma \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \tau \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \phi^2}$ 。

其它微分算子，像 $\nabla \cdot \mathbf{F}$ ， $\nabla \times \mathbf{F}$ ，都可以用 $(\sigma,\ \tau,\ \phi)$ 坐標表示，只要將標度因子代入在正交坐標系 條目內的一般公式。

第二種表述

另外還有一種拋物線坐標系的表述，專門用於哈密頓-亞可比方程式。假若使用此種表述的公式，則哈密頓-亞可比方程式可以很容易的分解出來。應用此方法，可以導引出拉普拉斯-龍格-冷次向量的恆定性．

採用下述從拋物線坐標變換至直角坐標的公式：

$\eta ={ - z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\xi ={z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$ 、

$\phi =\arctan {y \over x}$ 。

假若 $\phi=0$ ，則可得到一片截面；其坐標被限制於 $x\ge 0$ 的 +xz-半平面：

$\eta = - z + \sqrt{ x^2 + z^2}$ 、

$\xi =z + \sqrt{ x^2 + z^2}$ 。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\eta$ 是一個常數，$\eta=c$ ，則

$\left. z \right|_{\eta = c} = {x^2 \over 2 c} - {c \over 2}$ 。

這是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向上。

假若包含於一條曲線的每一點的坐標 $\xi$ 是一個常數，$\xi=b$ ，則

$\left. z \right|_{\xi = b} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}$ 。

這也是一個共焦點在原點的拋物線；對稱軸與 z-軸同軸；凹性向下。

思考任何一條向上的拋物線 $\eta=c$ 與任何一條向下的拋物線 $\xi=b$ ，我們想要求得兩條曲線的相交點：

${x^2 \over 2 c} - {c \over 2} = {b \over 2} - {x^2 \over 2 b}$ 。

稍微計算，可得

$x=\sqrt{bc}$ 。

將相交點的横坐標 $x$ 代入向上的拋物線的公式，

$z_c= {bc\over 2 c} - {c \over 2} = {b - c \over 2}$ 。

所以，相交點 P 坐標為 $\left(\sqrt{bc},\ {b - c \over 2}\right)$ 。

思考正切這兩條拋物線於點 P 的一對切線。向上的拋物線的切線的斜率為

$\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c$ 。

向下的拋物線的切線的斜率為

${dz_b\over dx}= - {x \over b}= - \sqrt{c\over b}= s_b$ 。

兩個斜率的乘積為

$s_c s_b= - 1$ 。

所以，兩條切線相垂直。對於任何兩條凹性相反的拋物線，都會有同樣的結果。

假設 $\phi\ne 0$ 。讓 $\phi$ 值從 $0$ 緩慢增值，這半平面會相應地繞著 z-軸按照右手定則旋轉；拋物線坐標為常數的拋物線 形成了拋物曲面。一對相反的拋物曲面的相交 設定了一個圓圈。而 $\phi$ 值設定的半平面，切過這圓圈於一個唯一點。這唯一點的直角坐標是：

$x = \sqrt{\eta\xi}\ \cos \phi$ 、

$y = \sqrt{\eta\xi}\ \sin \phi$ 、

$z =\frac{1}{2}(\xi - \eta)$ 。

參考文獻

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953:  p. 660. ISBN 0-07-043316-X. 

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956:  pp. 185–186. 

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961:  p. 180. 

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967:  p. 96. 

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992:  p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 

• Moon P, Spencer DE. Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions. corrected 2nd ed., 3rd print ed.. New York: Springer-Verlag. 1988:  pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302.