拓扑不可区分性

在拓扑学中，拓扑空间X 內的两点若有完全相同的鄰域，便稱這兩個點為「拓扑不可区分的」。亦即，設x 及y 為X 內的兩點，A 為由所有包含x 的鄰域所組成的集合，且B 為由所有包含y 的鄰域所組成的集合，則x 及y 為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B。

直觀上來說，若X 的拓撲無法分辦之中的兩點，即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

若X 內的兩點不是拓撲不可區分的，則稱這兩點為「拓撲可區分的」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集（或等价地说，存在只包含两点之中的其中一點的闭集），而这个开集則可以用来使两个点可以區分。T₀ 空间是一個拓撲空間，其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是分离公理中最弱的一個限制條件。

拓扑不可区分性會在拓扑空间X 上定义出一個等价关系。設x 和y 為X 內的兩個点，若x 和y 為拓撲不可區分的，便標記成x ≡ y；x 的等價類則標記為[x]。

例子

对T₀ 空间(特别是豪斯多夫空间)而言，拓扑不可区分的概念是沒有意義的，因此若要尋找有趣的例子，必须要在非T₀ 空间中才行。另一方面，由於正则性和正规性並不蕴涵 T₀，所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上，下面给出的例子就几乎都是完全正则的。

• 在不可分空間中，任意两个点都是拓扑不可区分的。
• 在伪度量空间中，两点是拓扑不可区分的，当且仅当在兩點之间的距离為零。
• 在半赋範向量空间中，x ≡ y 当且仅当 ‖x − y‖ = 0。
  • 舉例來說，设L²(R) 是一個拓撲空間，由所有从R 映射至R 的平方可积的可測函數所組成（詳见L^p 空间）。则在L²(R) 內，函数f 及g 為拓扑不可区分的，当且仅当兩個函數几乎处处相等。
• 在拓扑群中，x ≡ y ，当且仅当x⁻¹y ∈ cl{e} ，这里的cl{e} 為当然子群的闭包；而其等价类則為cl{e} 的陪集（总會是個正规子群）。
• 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群二者。在一致空间中，x ≡ y 当且仅当有序对 (x, y) 属于所有周围(entourage)。所有周围的交集是 X 上拓扑不可区分的点的等价关系。
• 设 X 有关于函数族 $\{f_\alpha : X \to Y_\alpha\}$ 的始拓扑。X 中两个点 x 和 y 是拓扑不可区分的，如果 $f_\alpha$ 族不区分它们(就是说 $f_\alpha(x) = f_\alpha(y)$ 对于所有 $\alpha$)。
• 给定集合 X 上的任何等价关系，有 X 上的拓扑，它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的基。这叫做 X 上的划分拓扑。

特殊化预序

在空间 X 上的拓扑不可区分性可以从在 X 上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于 X 中的点 x 和 y 这个预序定义为

x ≤ y 当且仅当 x ∈ cl{y}

这里的 cl{y} 指示 {y} 的闭包。等价的说，x ≤ y 如果 x 的邻域系统，指示为 N_x，被包含在 y 的邻域系统内:

x ≤ y 当且仅当 N_x ⊂ N_y。

容易看出在 X 上的这个关系是自反的和传递的，所以定义了预序。但是一般的说，这个预序不是反对称的。实际上，确定自 ≤ 的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系:

x ≡ y 当且仅当 x ≤ y 并且 y ≤ x。

拓扑空间被称为对称(或 R₀)的，如果特殊化预序是对称的(就是说 x ≤ y 蕴涵 y ≤ x)。在这种情况下，关系 ≤ 和 ≡ 是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间和完全正则空间。

性质

等价条件

有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设 X 是拓扑空间并设 x 和 y 是 X 的点。把x 和 y 的闭包分别指示为 cl{x} 和 cl{y}，并把它们的邻域系统分别指示为 N_x 和 N_y。则下列陈述是等价的:

• x ≡ y
• 对于每个 X 中的开集 U，要么 U 包含 x 和 y 二者要么都不包含
• N_x = N_y
• x ∈ cl{y} 并且 y ∈ cl{x}
• cl{x} = cl{y}
• x ∈ ∩N_y 并且 y ∈ ∩N_x
• ∩N_x = ∩N_y
• x ∈ cl{y} 并且 x ∈ ∩N_y
• x 属于包含 y 的所有开集和所有闭集
• 网或滤子会聚于 x 当且仅当它会聚于 y

这些条件可以在 X 是对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间)，下列陈述是等价的:

• x ≡ y
• 对于每个开集 U，如果 x ∈ U 则 y ∈ U
• N_x ⊂ N_y
• x ∈ cl{y}
• x ∈ ∩N_y
• x 属于包含 y 的所有闭集
• x 属于包含 y 的所有开集
• 所有会聚于 x 的网或滤子会聚于 y

等价类

要讨论 x 的等价类，首先定义 x 的上闭集合和下闭集合是方便的。它们都是关于上述讨论的特殊化预序而定义的。

x 的下部集合就是 {x} 的闭包:

$\mathop{\darr}x = \{y\in X : y\leq x\} = \textrm{cl}\{x\}$，

而 x 上部集合是在 x 的邻域系统的交集:

$\mathop{\uarr}x = \{y\in X : x\leq y\} = \bigcap \mathcal{N}_x$。

x 的等价类接着给出为交集

$[x] = {\mathop{\darr}x} \cap {\mathop{\uarr}x}$。

因为 ↓x 是包含 x 的所有闭集的交集而 ↑x 是包含 x 的所有开集的交集，等价类 [x] 是包含 x 的所有开集和闭集的交集。

cl{x} 和 ∩N_x 二者都包含等价类 [x]。一般的说，两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中)，这三个集合是一致的:

$[x] = \textrm{cl}\{x\} = \bigcap\mathcal{N}_x$。

一般的说，等价类 [x] 会是闭集，当且仅当这个空间是对称的。

连续函数

设 f : X → Y 是连续函数。则对于任何 X 中的 x 和 y 有

x ≡ y 蕴涵 f(x) ≡ f(y)。

逆命题一般为假(T₀ 空间有是平凡的商)。逆命题在 X 有引发自 f 的始拓扑的条件下为真。更一般的说，如果 X 有引发自映射族 $f_\alpha : X \to Y_\alpha$ 的始拓扑则

x ≡ y 当且仅当 f_α(x) ≡ f_α(y) 对于所有 α。

可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的，当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

柯尔莫果洛夫商空间

因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间 X 上的等价关系，我们可以形成商空间 KX = X/≡。空间 KX 被叫做柯尔莫果洛夫商空间或 X 的 T₀ 同一。事实上，空间 KX 是 T₀ (就是说所有点都是拓扑可区分的)。此外，通过商映射的特征性质，任何从 X 到 T₀ 空间的连续映射 f : X → Y 通过商映射 q : X → KX 而因子化。

尽管商映射 q 一般不是同胚(因为它一般不是单射)，它确实引发在 X 的拓扑和 KX 的拓扑之间的双射。直觉上说，柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只精简点集直到点都成为拓扑可区分的。

参见

• T₀空间
• 特殊化预序
• 不可区分者的同一性