拓扑不可区分性

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拓扑学中,拓扑空间X 內的两点若有完全相同的鄰域,便稱這兩個點為「拓扑不可区分的」。亦即,設xyX 內的兩點,A 為由所有包含x 的鄰域所組成的集合,且B 為由所有包含y 的鄰域所組成的集合,則xy 為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B

直觀上來說,若X 的拓撲無法分辦之中的兩點,即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

X 內的兩點不是拓撲不可區分的,則稱這兩點為「拓撲可區分的」。这表示存在只包含两点之中的其中一點的开集(或等价地说,存在只包含两点之中的其中一點的闭集),而这个开集則可以用来使两个点可以區分。T0 空间是一個拓撲空間,其中任意兩個相區別的點都是拓扑可区分的。这是分离公理中最弱的一個限制條件。

拓扑不可区分性會在拓扑空间X 上定义出一個等价关系。設xyX 內的兩個点,若xy 為拓撲不可區分的,便標記成xyx等價類則標記為[x]。

例子[编辑]

T0 空间(特别是豪斯多夫空间)而言,拓扑不可区分的概念是沒有意義的,因此若要尋找有趣的例子,必须要在非T0 空间中才行。另一方面,由於正则性正规性並不蕴涵 T0,所以可以找到一些有這些性质的例子。事实上,下面给出的例子就几乎都是完全正则的。

  • 不可分空間中,任意两个点都是拓扑不可区分的。
  • 伪度量空间中,两点是拓扑不可区分的,当且仅当在兩點之间的距离為零。
  • 半赋範向量空间中,xy 当且仅当 ‖xy‖ = 0。
    • 舉例來說,设L2(R) 是一個拓撲空間,由所有从R 映射至R平方可积可測函數所組成(詳见Lp 空间)。则在L2(R) 內,函数fg 為拓扑不可区分的,当且仅当兩個函數几乎处处相等。
  • 拓扑群中,xy ,当且仅当x−1y ∈ cl{e} ,这里的cl{e} 為当然子群闭包;而其等价类則為cl{e} 的陪集(总會是個正规子群)。
  • 一致空间推广了伪度量空间和拓扑群二者。在一致空间中,xy 当且仅当有序对 (x, y) 属于所有周围(entourage)。所有周围的交集是 X 上拓扑不可区分的点的等价关系。
  • X 有关于函数族 \{f_\alpha : X \to Y_\alpha\}始拓扑X 中两个点 xy 是拓扑不可区分的,如果 f_\alpha 族不区分它们(就是说 f_\alpha(x) = f_\alpha(y) 对于所有 \alpha)。
  • 给定集合 X 上的任何等价关系,有 X 上的拓扑,它的拓扑不可区分概念一致于这个等价关系。你可以简单选取这个等价关系为这个拓扑的。这叫做 X 上的划分拓扑

特殊化预序[编辑]

在空间 X 上的拓扑不可区分性可以从在 X 上的叫做特殊化预序的自然预序来复原。对于 X 中的点 xy 这个预序定义为

xy 当且仅当 x ∈ cl{y}

这里的 cl{y} 指示 {y} 的闭包。等价的说,xy 如果 x邻域系统,指示为 Nx,被包含在 y 的邻域系统内:

xy 当且仅当 NxNy

容易看出在 X 上的这个关系是自反的和传递的,所以定义了预序。但是一般的说,这个预序不是反对称的。实际上,确定自 ≤ 的等价关系完全就是拓扑不可区分性的关系:

xy 当且仅当 xy 并且 yx

拓扑空间被称为对称(或 R0)的,如果特殊化预序是对称的(就是说 xy 蕴涵 yx)。在这种情况下,关系 ≤ 和 ≡ 是同一的。拓扑不可区分性在这些空间中表现良好并易于理解。注意这类空间包括所有正则空间完全正则空间

性质[编辑]

等价条件[编辑]

有很多确定两个点是拓扑不可区分的等价方式。设 X 是拓扑空间并设 xyX 的点。把xy 的闭包分别指示为 cl{x} 和 cl{y},并把它们的邻域系统分别指示为 NxNy。则下列陈述是等价的:

  • xy
  • 对于每个 X 中的开集 U,要么 U 包含 xy 二者要么都不包含
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y} 并且 y ∈ cl{x}
  • cl{x} = cl{y}
  • xNy 并且 yNx
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y} 并且 xNy
  • x 属于包含 y 的所有开集和所有闭集
  • 滤子会聚于 x 当且仅当它会聚于 y

这些条件可以在 X对称空间的情况下简化。对于这些空间(特别是正则空间),下列陈述是等价的:

  • xy
  • 对于每个开集 U,如果 xUyU
  • NxNy
  • x ∈ cl{y}
  • xNy
  • x 属于包含 y 的所有闭集
  • x 属于包含 y 的所有开集
  • 所有会聚于 x 的网或滤子会聚于 y

等价类[编辑]

要讨论 x等价类,首先定义 x上闭集合和下闭集合是方便的。它们都是关于上述讨论的特殊化预序而定义的。

x 的下部集合就是 {x} 的闭包:

\mathop{\darr}x = \{y\in X : y\leq x\} = \textrm{cl}\{x\}

x 上部集合是在 x邻域系统交集:

\mathop{\uarr}x = \{y\in X : x\leq y\} = \bigcap \mathcal{N}_x

x 的等价类接着给出为交集

[x] = {\mathop{\darr}x} \cap {\mathop{\uarr}x}

因为 ↓x 是包含 x 的所有闭集的交集而 ↑x 是包含 x 的所有开集的交集,等价类 [x] 是包含 x 的所有开集和闭集的交集。

cl{x} 和 Nx 二者都包含等价类 [x]。一般的说,两个集合都会包含额外的点。但是在对称空间中(特别是在正则空间中),这三个集合是一致的:

[x] = \textrm{cl}\{x\} = \bigcap\mathcal{N}_x

一般的说,等价类 [x] 会是闭集,当且仅当这个空间是对称的。

连续函数[编辑]

f : XY连续函数。则对于任何 X 中的 xy

xy 蕴涵 f(x) ≡ f(y)。

逆命题一般为假(T0 空间有是平凡)。逆命题在 X 有引发自 f始拓扑的条件下为真。更一般的说,如果 X 有引发自映射族 f_\alpha : X \to Y_\alpha 的始拓扑则

xy 当且仅当 fα(x) ≡ fα(y) 对于所有 α。

可得出在乘积空间中两个元素是拓扑不可区分的,当且仅当每个它们的分量都是拓扑不可区分的。

柯尔莫果洛夫商空间[编辑]

因为拓扑不可分别性是在任何拓扑空间 X 上的等价关系,我们可以形成商空间 KX = X/≡。空间 KX 被叫做柯尔莫果洛夫商空间XT0 同一。事实上,空间 KX 是 T0 (就是说所有点都是拓扑可区分的)。此外,通过商映射的特征性质,任何从 X 到 T0 空间的连续映射 f : XY 通过商映射 q : XKX 而因子化。

尽管商映射 q 一般不是同胚(因为它一般不是单射),它确实引发在 X 的拓扑和 KX 的拓扑之间的双射。直觉上说,柯尔莫果洛夫商不改变一个空间的拓扑。它只精简点集直到点都成为拓扑可区分的。

参见[编辑]