拓撲向量空間

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加法運算在 0 處是連續的當且僅當對於任何 0 的鄰域 U 存在另一個 0 的鄰域 V 使得V + V 被包含在 U 中。

拓撲向量空間泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構向量空間

拓撲向量空間主要都是函數空間,在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。

希爾伯特空間巴拿赫空間是典型的例子。

定義[编辑]

File:Topological vector space illust2.svg
如果乘法運算在 0 處是連續的,則對於 0 的任何鄰域 U 和任何標量 λ 存在另一個 0 的鄰域 V 使得 λV 被包含在 U 中。這個必要條件也會變為充分條件,如果增加了額外假設;參見Trèves (1967, Chapter 3)。
帶有上述兩個性質的原點的鄰域族唯一確定一個拓撲向量空間。在這個向量空間內的任何其他點的鄰域系統是通過平移獲得的。

一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K (通常取實數或複數域)上的向量空間,其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × XX 與純量乘法 K × XX 為連續映射。

:某些作者也要求 X豪斯多夫空間,更有要求其為局部凸空間者(例如 Fréchet 空間)。一個拓撲向量空間是豪斯多夫空間的充分條件是該空間為 T_1 空間。

佈於 K 上的拓撲向量空間範疇通常記為 TVSKTVectK,其對象為佈於 K 上的拓撲向量空間,態射則為連續的 K-線性映射。拓撲向量空間的同構是既是同胚也是線性的映射。

例子[编辑]

所有賦範向量空間都是拓撲向量空間的例子。因此所有巴拿赫空間希爾伯特空間也是這些例子。

函數空間[编辑]

數學分析中應用的拓撲向量空間主要是函數空間。較常見的例子有:

積向量空間[编辑]

當賦予乘積空間後,拓撲向量空間的家族的笛卡兒乘積都是拓撲向量空間.例如,Xf : RR函數的集合. X可以被乘積空間RR來確定的,並帶有自然的乘積空間.有了這個拓撲,X成了拓撲向量空間,稱呼為逐點收斂的空間.命名的原因是如果(fn) 是X集合內元素的序列而對於所有實數x fn(x)都有一個極限 f(x) ,那麼fnX集合內有一個極限f.這個空間就是完整但不能賦範.

拓撲結構[编辑]

向量空間對加法構成阿貝爾群,拓撲向量空間的加法逆運算 v \mapsto -v 是連續的(因為 -v = (-1) \cdot v),因此拓撲向量空間可視為可交換的拓撲群

特別是:拓撲向量空間是一致空間,因此可以談論完備性一致收斂一致連續。向量運算(加法與純量積)是一致連續的,因此拓撲向量空間的完備化仍為拓撲向量空間,原空間在其中是個稠密的線性子空間。

向量運算不只連續,實則還是同胚,因此我們可以從原點附近的一組局部重構整個空間的拓撲。局部基可由以下兩種開集組成:

一個拓撲向量空間可度量化的充要條件是:(一)它是豪斯多夫空間(二)原點有一組可數的局部

拓撲向量空間之間的線性函數若在某一點連續,則在整個定義域上連續。一個線性泛函連續的充要條件是其核為閉子空間。

有限維向量空間有唯一的豪斯多夫拓撲,因此任何有限維拓撲向量空間都同構於 K^n(帶上確界範數:\| (a_1, \ldots, a_n)\| := \sup |a_i|)。對於豪斯多夫拓撲向量空間,有限維等價於局部緊。

拓撲向量空間的種類[编辑]

在應用中,我們常考慮具有一些附帶拓撲性質的空間,以下是一些常見的種類,大致以其性質之「良好」與否排序。

對偶空間[编辑]

拓撲向量空間 V連續對偶空間定義為所有連續線性泛函構成的空間 V^*,其拓撲可定義為使對偶配對 V^* \times_K V \to K: (\lambda, v) \mapsto \lambda(v) 為連續映射的最粗拓撲(稱為弱-*拓撲)。當 V巴拿赫空間時, 可以藉算子範數在 V^* 上定義更細的拓撲,然而弱-*拓撲具有一些緊緻性定理(巴拿赫-阿劳格鲁定理),因而在應用中仍相當重要。

文獻[编辑]

  • A Grothendieck: Topological vector spaces, Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1973. ISBN 0-677-30020-4
  • G Köthe: Topological vector spaces. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 159, Springer-Verlag, New York, 1969. ISBN 0-387-04509-0
  • Schaefer, Helmuth H. Topological vector spaces. New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 0-387-98726-6. 
  • Lang, Serge. Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc. 1972. 
  • F Trèves: Topological Vector Spaces, Distributions, and Kernels, Academic Press, 1967. ISBN 0-486-45352-9.