指示函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

集合論中,指示函数是定义在某集合X上的函数,表示其中有哪些元素属于某一子集A

指示函数有时候也称为特征函数。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数

X的子集A的指示函数是函数1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace,定义为

1_A(x) = \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\quad  若 x \in A
 若 x \notin A

A的指示函数也记作\chi_A(x)\,\qquad I_A(x)\,

简单性质[编辑]

X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射,值域是所有函数f:X \to \{0,1\}的集合。

如果ABX的两个子集,那么

1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,

以及

1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,

更一般地,设A1, ..., AnX的子集。对任意x \in X,可知

 \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1当且仅当x不属于任何Ak

故有

 \prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}

展开左式

 1_{\bigcup_{k} A_k} = 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}}(-1)^{|F|}\; 1_{\bigcap_F A_k}
= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1}\; 1_{\bigcap_F A_k}

其中|F|是F。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示,指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方,例如在概率论:若X概率空间,有概率测度PA可测集,那么1A就是随机变量,其期望值等于A的概率。

E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。