指示函数

数学中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。

指示函数有时候也称为特征函数。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。

集X的子集A的特征函数是函数$1_A : X \to \lbrace 0,1 \rbrace$，定义为

$1_A(x) = \begin{cases} 1 \\ 0 \end{cases}\quad$	若$x \in A$，
	若$x \notin A$。

A的指示函数也记作$\chi_A(x)\,$或$\qquad I_A(x)\,$。

简单性质

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是单射，值域是所有函数$f:X \to \{0,1\}$的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

$1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,$，

以及

$1_{A\cup B} = \max\{{1_A,1_B}\} = 1_A + 1_B - 1_A 1_B\,$。

对于$1_{A\cap B} = \min\{1_A,1_B\} = 1_A 1_B\,$的推导 假设存在$C=A\cap B$, 则 $X_{A\cap B}=X_C$ （这里理解应该直接把A∩B看作一个集合，下面推导于C无关）

1.当A∩B不是空集时, 存在

A∩B ⊆ A
A∩B ⊆ B

所以

X_{A\cap B} ⊆ X_A 
X_{A\cap B} ⊆ X_B 

a. 当x∈A且x∉A∩B时

$X_{A\cap B} = 0$

b. 当x∈B且x∉A∩B时

$X_{A\cap B} = 0$

c. 当x∈A∩B时

$X_{A\cap B} = 1$

d. 当x∉A且x∉B时

$X_{A\cap B} = 0$

2.当A∩B是空集时 存在 x∈A∩B，则x∉A，且x∉B 所以$X_{A\cap B} = 0$

所以对于公式$X_{A\cap B}=X_AX_B$，则可以看作一个点在整个平面上运动，这个点对应的$X_{A\cap B}$就是对应的$X_AX_B$值

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意$x \in X$，可知

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}(x)) = 1$当且仅当x不属于任何A_k，故有

$\prod_{k \in I} ( 1 - 1_{A_k}) = 1_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - 1_{\bigcup_{k} A_k}$。

展开左式

$1_{\bigcup_{k} A_k}$	$= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}}(-1)^{|F|}\; 1_{\bigcap_F A_k}$
	$= \sum_{\varnothing \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1}\; 1_{\bigcap_F A_k}$，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，期望值等于A的概率：

$E(1_A)= \int_{X} 1_A(x)\,dP = \int_{A} dP = P(A)$。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。