换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义： $[x,y]=xyx^{-1}y^{-1}$ ，如果x与y交换，那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为当然群{e}。

定义[编辑]

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

$[G,G] = \langle g^{-1}h^{-1}gh \, | \, g, h \in G \rangle .$

类似地可以定义高阶的导群。

$G^{(0)} = G$

$G^{(n)} = [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \mathbf{N}$

可以证明，如果存在自然数 n 使得 $G^{(n)} = {e}$ ，那么G是可解群。

商群 $G/[G,G]$ 是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

$[G,G]=G$ 的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质[编辑]

$G^\prime$ 是 $G$ 的正规子群。
G对于自同构稳定： $\forall \phi \in Aut(G), \phi (G^\prime) = G^\prime$ 。
如果H是G的子群，那么 $H^\prime \subseteq G^\prime$ 。
$\pi : G_1 \to G_2$ 是一个满同态，那么 $\pi (G_1^\prime) = G_2^\prime$ 。
如果H是G的正规子群，那么 $\frac{G}{H}$ 是交换群，当且仅当 $G^\prime \subseteq H$ 。

证明： $\pi_H : G \to \frac{G}{H} : a \mapsto Ha$ 是一个满同态，

所以， $\frac{G}{H}$ 是交换群

$\quad \Leftrightarrow \left\{ e \right\}= (\frac{G}{H})^\prime = \pi_H(G^\prime)$

$\Leftrightarrow G^\prime \subseteq He = H$
$G^\prime \subseteq G^\prime$ ，所以 $G^{ab} = \frac{G}{G^\prime}$ 可交换。