换位子群

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抽象代数中,一个换位子群导群,是指由这个群的所有交换子所生成的子群,记作[G,G]、G′G(1) 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中,交换子群G′是使得G对它的商群交换群的最小子群。在某种意义上,交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义: [x,y]=xyx^{-1}y^{-1},如果x与y交换,那么[x,y]=e。一个群内可交换的元素越多,交换子就越少,交换子群也就越小。可交换群的交换子群为当然群{e}。

定义[编辑]

给定一个群GG的交换子群或导群: [G,G]、G′G(1)G的所有交换子所生成的子群:

[G,G] = \langle  g^{-1}h^{-1}gh \, | \, g, h \in G  \rangle .


类似地可以定义高阶的导群。

G^{(0)} = G
G^{(n)} = [G^{(n-1)},G^{(n-1)}] \quad n \in \mathbf{N}

可以证明,如果存在自然数 n 使得 G^{(n)} = {e} ,那么G可解群

商群G/[G,G]是一个阿贝尔群,叫做G阿贝尔化子群,通常记作GabG的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

[G,G]=G的群叫做完美群,这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质[编辑]

  1. G^\primeG正规子群
  2. G对于自同构稳定:\forall \phi \in Aut(G), \phi (G^\prime) = G^\prime
  3. 如果H是G的子群,那么H^\prime \subseteq G^\prime
  4. \pi : G_1 \to G_2 是一个满同态,那么\pi (G_1^\prime) = G_2^\prime
  5. 如果H是G的正规子群,那么 \frac{G}{H}交换群,当且仅当G^\prime \subseteq H
    证明:\pi_H : G \to \frac{G}{H} : a \mapsto Ha 是一个满同态,
    所以, \frac{G}{H}是交换群
    \quad \Leftrightarrow \left\{ e \right\}= (\frac{G}{H})^\prime = \pi_H(G^\prime)
    \Leftrightarrow G^\prime \subseteq He = H
  6. G^\prime \subseteq G^\prime ,所以G^{ab} = \frac{G}{G^\prime} 可交换。

交换子群的例子[编辑]


参见[编辑]