对数恒等式

在数学中，有许多对数恒等式。

代数恒等式

简化计算

对数可以用来简化计算。例如，两个数可以只通过查表和相加而得到乘积。

$\,\log _{\theta }xy=\log _{\theta }x+\log _{\theta }y$	對應到	$\,\theta ^{x}\theta ^{y}=\theta ^{x+y}$
$\log _{\theta }{\frac {x}{y}}=\log _{\theta }x-\log _{\theta }y$		${\frac {\theta ^{x}}{\theta ^{y}}}=\theta ^{x-y}$
$\,\log _{\theta }x^{y}=y\log _{\theta }x$		$\,({\theta ^{x}})^{y}=\theta ^{xy}$
$\log _{\theta }{\sqrt[{y}]{x}}={\frac {\log _{\theta }x}{y}}$		${\sqrt[{y}]{x}}=x^{\frac {1}{y}}$
$\,\log _{\theta }-x=\log _{\theta }x+\pi i\log _{\theta }e$		歐拉恆等式：$\,e^{\pi i}+1=0$

消去指数

同底的对数和指数会彼此消去。这是因为对数和指数是互逆运算（就像乘法和除法那样）。

$b^{\log _{b}(x)}=x$	因为	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	因为	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

换底公式

$\log _{\theta }x={\frac {\log _{\phi }x}{\log _{\phi }\theta }}$

在计算器上计算对数时需要用到这个公式。例如，大多数计算器有ln和log₁₀的按钮，但却没有$\log _{2}$的。要计算$\log _{2}(3)$，只有计算${\frac {\log _{10}(3)}{\log _{10}(2)}}$。

这个公式有许多推论：

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

$\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,$

${\pi (n)}$是下标$1,\ldots ,n$的任意的排列。例如

$\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,$

和/差公式

下面的和/差规则对概率论中的对数化概率的计算非常有用：

$\log _{\theta }(\mathrm {X} \pm \Upsilon )=\log _{\theta }\mathrm {X} +\log _{\theta }\left(1\pm {\frac {\Upsilon }{\mathrm {X} }}\right)$

普通恒等式

$\log _{b}(1)=0\!\,$	因为	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	因为	$b^{1}=b\!\,$

注意$\log _{b}(0)\!\,$无定义，因为没有一个数$x\!\,$使$b^{x}=0\!\,$成立。

微积分恒等式

极限

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

最后一个极限经常被总结为“$x$的对数增长得比$x$的任何次方或方根都慢”。

对数函数的导数

${d \over dx}\ln x={1 \over x}={\ln e \over x}$

积分定义

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

对数函数的积分

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

为了记忆积分，可以方便的定义：

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

于是，

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

求大数的近似数

对数恒等式可以用来求大数的近似数。 假设我们要得到第44个梅森质数$2^{32582657}-1$的近似值。先取对数（$-1$被忽略），$2^{32582657}$以10为底的对数等于 32,582,657 与$\log _{10}(2)$的乘积，计算得到$9808357.09543=9808357+0.09543$。再取指数消去对数，得到最后结果为 $10^{9808357}\times 10^{0.09543}\approx 1.25\times 10^{9808357}$.

类似地，阶乘的结果可以用每项的对数之和来近似。