接触力学

接触力学的范围集中在弹性体、粘弹性体和塑性体在静态和动态接触中的计算。接触力学是机械工程的基本领域，它为技术系统的安全和能量的有效设计提供了必要的信息。

接触力学的原理应用于很多领域，例如机车轮-轨接触，联接装置，刹车系统，疲劳，衬套，球轴承，内燃机，机械连接，密封垫片，金属加工，金属成型，超声波电焊，电接触等等。该领域目前面临的挑战包括接触应力分析、耦合数、润滑油影响和摩擦磨损上的材料设计。接触力学的应用更可以扩展到微粒子和纳米技术领域。

在法向力和切向力同时作用下的接触区域的应力。采用光测弹性学使应力可视化。

历史

经典接触力学主要跟海因里希·赫兹。1882年赫兹解决了两个曲面弹性体的接触问题（也叫赫兹接触应力）。这种相关的典型的解决方法为现代接触力学奠定了基础。

直到近100年后，约翰逊，肯德尔和罗伯茨才找到一种近似的方法解决粘着接触问题。

20世纪中期接触力学领域的进步要归功于Bowden和Tabor。Bowden和Tabor首次强调了接触中物体表面粗糙度的重要性。通过对表面粗糙度的研究发现，互相摩擦体间的真实接触面积要小于表面接触面积。这种解释也彻底改变了摩擦学的研究方向。Bowden和Tabor的著作产生了几种粗糙表面的接触力学理论。

在此领域中说到先驱著作，就必须提及1957年Archard的贡献。Archard认为，即使是粗糙的弹性表面间，其接触面积与法向力接近比例关系。Greenwood，Williamson, Bush, 和Persson分别于1966年，1975年和2002年在此方向上提出了更重要的认识。这些研究的主要发现如下：粗糙材料的接触面积通常与法向作用力成正比，而单个微观接触参数（如压力，微观接触尺寸）却很少取决于载荷。

无粘着接触

经典接触理论主要是无粘着接触，也就是在接触面内没有张力，接触双方分开时没有粘着力。目前分析方法和数值方法已经被用于解决这类问题。当两个物体接触时，存在复杂的力和单元的传递，因此该接触问题变得很复杂。另外，接触应力和应变关系通常是非线性的。为了简化问题，通常参考系的定义使得处于其中的物体是静态的（物体之间也可能有相对运动）。物体在接触界面通过表面牵引力（或表面应力）相互影响。The 考虑两个物体接触，接触表面在($x$,$y$)-平面的方程为$S$，$z$-轴垂直于表面。其中一个物体在$S$内将经历一个法向压力分布$p_z=p(x,y)=q_z(x,y)$和平面上表面牵引力分布$q_x=q_x(x,y)$和$q_y=q_y(x,y)$。根据牛顿力平衡，得到下面这几个力必须平衡，并与另外一个物体受的力相反：

$P_z = \int_S p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_x = \int_S q_x(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ Q_y = \int_S q_y(x,y)~ \mathrm{d}A$

这些力产生的力矩也要相互抵消，从而保证其运动稳定性：

$M_x = \int_S y~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_y = \int_S x~p(x,y)~ \mathrm{d}A ~;~~ M_z = \int_S [x~q_y(x,y) - y~q_x(x,y)]~ \mathrm{d}A$

赫兹接触问题假设：

• 应变很小并在弹性范围内；
• 接触物体可以看作是弹性半空间体，也就是说，接触面远小于物体半径；
• 表面是连续的，不确定的 ；
• 表面无摩擦。

不满足这些条件的接触问题更加复杂，通常称之为非赫兹接触。

接触力学中的经典问题

球体和弹性半空间的接触

球体和弹性半空间的接触

一个半径为 $R$ 的球体在一个弹性半空间上压出的凹痕深度为 $d$ ，若产生的接触区域的半径为 $a=\sqrt{Rd}$ ，则作用力 $F$ 为 $F=\frac{4}{3}E^*R^{1/2}d^{3/2}$ ,

式中

$\frac{1}{E^*}=\frac{1-\nu^2_1}{E_1}+\frac{1-\nu^2_2}{E_2}$ .

$E_1$,$E_2$ 分别为是接触体的弹性模量，$\nu_1$,$\nu_2$ 是泊松比。

两个球体的接触

若给定两个球体的半径为 $R_1$ 和 $R_2$, 定义 $R$ 为

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ ,

则接触区域的压力分布为

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}$ ,

式中

$p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}$ .

对于 $\nu = 0.33$，最大剪应力发生在表面下 $z\approx 0.49a$ 位置。

两个相同半径的圆柱体交叉接触

两个相同半径的交叉圆柱体的接触

该接触等同于一个半径为 $R$ 的球体和一个平面的接触（见上）。

刚性圆柱体和弹性半空间的接触

刚性圆柱体和弹性半空间的接触

一个刚性圆柱体压在一个弹性半空间上，产生的压力分布可写为

$p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{-1/2}$ ,

式中

$p_0=\frac{1}{\pi}E^*\frac{d}{a}$ .

凹痕的深度和法向力的关系可表述为

$F=2aE^*d\frac{}{}$ .

刚性圆锥体和弹性半空间的接触

刚性圆锥体和弹性半空间的接触

一个刚性圆锥体和一个弹性半空间作用时，压痕的深度和接触直径的关系为

$d=\frac{\pi}{2}a\tan\theta$ ,

式中 $\theta$ 为圆锥侧面和平面的夹角，则压力分布为

$p(r)=-\frac{Ed}{\pi a\left(1-\nu^2\right)}ln\left(\frac{a}{r}+\sqrt{\left(\frac{a}{r}\right)^2-1}\right)$ .

在圆锥顶尖应力有个对数奇点。总作用力为

$F_N=\frac{2}{\pi}E\frac{d^2}{\tan \theta}$ .

两个中心轴平行的圆柱体间的接触

两个中心轴平行的圆柱体间的接触

两个中心轴平行的圆柱体接触时，作用力与压痕深度成线性比例关系：

$F=\frac{\pi}{4}E^*Ld$ .

次关系式曲率半径完全没有关系。接触半径可用通常的关系式来描述：

$a=\sqrt{Rd}$ ,

与两个球体的接触一样，式中

$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ ,

最大压力为

$p_0=\left(\frac{E^*F}{\pi LR}\right)^{1/2}$ .

粗糙表面间的接触

当两个粗糙表面相互挤压时，真实的接触面积 $A$ 远小于表观接触面积 $A_0$ 。在一个“任意粗糙”的表面和一个弹性半球体接触时，真实的接触面积与法向作用力 $F$ 的关系为

$A=\frac{\kappa}{E^*h'}F$ ,

式中 $h'$ 等于表面斜度的均方根（也叫均方值），且 $\kappa \approx2$ 。真实接触面积的平均压力为

$\sigma =\frac{F}{A}\approx\frac{1}{2}E^*h'$

该压力可适当估算为有效弹性模量与表面斜度 $h'$ 均方值的乘积的一半。

若给定压力远大于材料的硬度 $\sigma_0$时，下式

$\Psi = \frac{E^*h'}{\sigma _0}>2$

描述了完全塑性状态下的微观粗糙度。当 $\Psi <\frac{2}{3}$时，表面为弹性接触。参数 $\Psi$ 由Greenwoord和Williamson引入作为塑性指数. 无论系统表现为塑性还是弹性，均与法向作用力为无关。

参考文献

• Johnson, K. L.: Contact mechanics. Cambridge University Press, 6. Nachdruck der 1. Auflage, 2001.
• Popov, Valentin L.: Kontaktmechanik und Reibung. Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation, Springer-Verlag, 2009, 328 S., ISBN 978-3-540-88836-9.
• Popov, Valentin L.: Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer-Verlag, 2010, 362 p., ISBN 978-3-642-10802-0.
• Sneddon, I. N.: The Relation between Load and Penetration in the Axisymmetric Boussinesq Problem for a Punch of Arbitrary Profile. Int. J. Eng. Sci.,1965, v. 3, pp. 47–57.
• Hyun, S., and M.O. Robbins: Elastic contact between rough surfaces: Effect of roughness at large and small wavelengths. Trobology International, 2007, v.40, pp. 1413-1422.