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推遲勢

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在這篇文章內,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用\mathbf{r}\,\!表示;而其大小則用r\,\!來表示。檢驗變數或場變數的標記的後面沒有單撇號「'\,\!」;源變數的標記的後面有單撇號「'\,\!」。

電磁學裏,推遲勢指的是,響應含時電荷分佈或含時電流分佈,而產生的推遲純量勢或推遲向量勢。對於這程序,由於「前因」與「後果」之間必然的推遲關係,訊號以光速從源位置傳播到場位置,需要有限時間。在某源位置的電流或電荷分佈,必須經過一段時間之後,才能夠將其影響傳播到場位置,產生對應的電磁作用。這一段時間的長久跟源位置與場位置之間距離的遠近有關。

理論概念[编辑]

給予在源位置 \mathbf{r}' 的含時電荷分佈或含時電流分佈,計算在場位置 \mathbf{r} 產生的推遲勢。

對於靜態的電荷分佈和電流分佈,電勢 \Phi(\mathbf{r})磁向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r}) 分別定義為

\Phi(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'
\mathbf{A}(\mathbf{r})\ \stackrel{def}{=}\  \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'

其中,\mathbf{r} 是場位置, \mathbf{r}' 是源位置,\epsilon_0真空電容率\mu_0真空磁導率\rho電荷密度\mathbf{J}電流密度\mathbb{V}' 是體積分的空間,d^3\mathbf{r}' 是微小體元素。

電動力學裏,這兩個方程式必須加以延伸,才能正確地響應含時電流分佈或含時電荷分佈。定義推遲時間 t_r 為檢驗時間 t 減去電磁波傳播的時間:

t_r\ \stackrel{def}{=}\ t - \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}

其中,c 是光速。

假設,從源位置 \mathbf{r}' 往場位置 \mathbf{r} 發射出一束電磁波,而這束電磁波在檢驗時間 t 抵達觀測者的場位置 \mathbf{r} ,則這束電磁波發射的時間是推遲時間 t_r 。由於電磁波傳播於真空的速度是有限的,觀測者檢驗到電磁波的檢驗時間 t ,會不同於這電磁波發射的推遲時間 t_r

推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)推遲向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) 分別用方程式定義為

\Phi(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\  \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'
\mathbf{A}(\mathbf{r},\,t)\ \stackrel{def}{=}\   \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'

請注意,在這兩個含時方程式內,源電荷密度和源電流密度都跟推遲時間 t_r 有關,而不是與時間無關。

這兩個含時方程式,是用推理得到的啟發式,而不是用任何定律公理推導出來的。訊號以光速傳播,從源位置到場位置,需要有限時間。所以在時間 t 的推遲勢必定是由在推遲時間 t_r 的源電荷密度或源電流密度產生的。為了要確定這兩個方程式的正確性與合理性,必須證明它們滿足非齊次的電磁波方程式[1]。還有,勞侖次規範是一個常用的規範,可以較便利地解析電磁輻射的生成問題。稍後會有表示兩個方程式滿足勞侖次規範條件的證明。

非齊次的電磁波方程式[编辑]

含時電荷分佈或含時電流分佈所產生的電勢或磁向量勢,必須遵守非齊次的電磁波方程式,表達為

\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)  - {1 \over c^2} {\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)  \over \partial t^2}  = - {\rho(\mathbf{r},\,t) \over \epsilon_0}
\nabla^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) - {1 \over c^2} {\partial^2 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) \over \partial t^2}   = - \mu_0 \mathbf{J}(\mathbf{r},\,t)

假若,這些用啟發法推理得到的推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t) 和推遲向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) 不能滿足非齊次的電磁波方程式,那麼,這些推遲勢很可能有重大錯誤,無法適用於期望的用途(從含時源生成電磁輻射)。

設定 \boldsymbol{\mathfrak{R}} 為從源位置到場位置的分離向量:

\boldsymbol{\mathfrak{R}}=\mathbf{r} - \mathbf{r}'

場位置 \mathbf{r} 、源位置 \mathbf{r}' 和時間 t 都是自變數independent variable)。分離向量 \boldsymbol{\mathfrak{R}} 和其大小 \mathfrak{R} 都是應變數dependent variable),跟場位置 \mathbf{r} 、源位置 \mathbf{r}' 有關。推遲時間 t_r=t - \mathfrak{R}/c 也是應變數,跟時間 t 、分離距離 \mathfrak{R} 有關。

推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)梯度

\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \nabla\left(\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\right)\, d^3\mathbf{r}'= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\frac{\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}+\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)\nabla\left(\frac{1}{\mathfrak{R}}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'

源電荷密度 \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)全微分

\begin{align}
d\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}dt_r \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(\frac{\partial t_r}{\partial t}dt+\frac{\partial t_r}{\partial \mathfrak{R}}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left(dt - \frac{1}{c}d\mathfrak{R}\right) \\
 & =\nabla'\rho\cdot d\mathbf{r}'+\frac{\partial \rho}{\partial t_r}\left[dt - \frac{1}{c}(\nabla\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r})+\nabla'\mathfrak{R} \cdot d\mathbf{r}')\right] \\
\end{align}

注意到

\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t}=\frac{\partial t_r}{\partial t}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}=\frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}
\nabla \mathfrak{R}=\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}

所以,源電荷密度 \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) 的梯度是

\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t_r}\nabla \mathfrak{R}= - \frac{1}{c}\ \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\partial t}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}= - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}

其中,\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r) 定義為 \frac{\partial\rho(\mathbf{r}' ,\, t)}{\partial t_r}

將這公式代入,推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t) 的梯度是

\nabla\Phi(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[ - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}} - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)   \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]\, d^3\mathbf{r}'

推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t)拉普拉斯算符

\begin{align}
\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t) & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[
 - \frac{\nabla\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\cdot\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}
 - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c}\nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}}\right) - [\nabla\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)] \cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)
 - \rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \nabla\cdot\left(\frac{\hat{\boldsymbol{\mathfrak{R}}}}{\mathfrak{R}^2}\right)\right]
\, d^3\mathbf{r} \\
 & = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[
 - \frac{\ddot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c^2 \mathfrak{R}}
 - \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2}
 + \frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{c \mathfrak{R}^2}
 - 4\pi\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r) \delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}})\right]\, d^3\mathbf{r}' \\
 & = - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left[\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'}
\frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_r)}{\mathfrak{R}}\, d^3\mathbf{r}' \right]
 - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0} \\
\end{align}

其中,\delta^3(\boldsymbol{\mathfrak{R}}) 是三維狄拉克δ函數

所以,推遲純量勢滿足非齊次的電磁波方程式

\nabla^2\Phi(\mathbf{r},\,t)+ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \Phi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t^2}=  - \frac{\rho(\mathbf{r},\, t)}{\epsilon_0}

類似地,可以證明推遲向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) 滿足非齊次的電磁波方程式。

勞侖次規範條件[编辑]

給予磁場 \mathbf{B} ,並不是只有一個向量場 \mathbf{A} 滿足條件 \mathbf{B} = \nabla\times\mathbf{A} 。實際上,有無限多個解答。應用一項向量恆等式\nabla\times(\nabla \lambda)=0 ,給予任意函數 \lambda ,那麼, \mathbb{A}=\mathbf{A}+\nabla\lambda 也是一個解答。磁向量勢的這種特性,稱為規範自由

物理學家時常會選擇使用某種規範來解析特定的問題。在電磁學裏,勞侖次規範是一個常用的規範,可以便利地解析電磁輻射的生成問題。勞侖次規範用微分方程式表達為

\nabla \cdot  \mathbf{A} +{1 \over c^2} {{\partial \Phi } \over {\partial t}}= 0

按照前述方法,可以證明推遲純量勢 \Phi(\mathbf{r},\,t) 和推遲向量勢 \mathbf{A}(\mathbf{r},\,t) 滿足勞侖次規範。這是一個很好的練習。

廣義的含時電磁場[编辑]

推遲勢與電場 \mathbf{E}磁場 \mathbf{B} 的關係分別為

\mathbf{E}= - \nabla\Phi - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}
\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}

按照前述方法,可以得到電場 \mathbf{E} 和磁場 \mathbf{B} 的方程式,又稱為傑斐緬柯方程式[1]

 \mathbf{E}(\mathbf{r},\,t) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \left[\rho(\mathbf{r}',\,t_r)\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3}
+\frac{\dot{\rho}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c}\frac{\mathbf{r} - \mathbf{r}'}{ |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2} - \frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c^2  |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\right] d^3\mathbf{r}'
 \mathbf{B}(\mathbf{r},t) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'}
\left[\frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_r)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^3} +\frac{\dot{\mathbf{J}}(\mathbf{r}',\,t_r)}{c |\mathbf{r} - \mathbf{r}'|^2}\right]\times(\mathbf{r} - \mathbf{r}')\ d^3\mathbf{r}'

超前勢[编辑]

定義超前時間 t_a 為現在時間 t 加上光波傳播的時間:

t_a\ \stackrel{def}{=}\ t + \frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}{c}

超前純量勢 \Phi_a(\mathbf{r},\,t)超前向量勢 \mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t) 分別用方程式表達為

\Phi_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}' ,\, t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'
\mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t)= \frac{\mu_0}{4\pi}\int_{\mathbb{V}'} \frac{\mathbf{J}(\mathbf{r}',\,t_a)}{|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|}\, d^3\mathbf{r}'

這兩個方程式表明,在時間 t 的超前純量勢與超前向量勢,乃是由在超前時間 t_a 的源電荷密度或源電流密度產生的。超前純量勢 \Phi_a(\mathbf{r},\,t) 與超前向量勢 \mathbf{A}_a(\mathbf{r},\,t) 也滿足非齊次的電磁波方程式和勞侖次規範,但它們違反了因果律。這是很嚴峻的問題,未來發生的事件不應該影響過去發生的事件。在物理學裏,超前純量勢和超前向量勢只是很有意思的純理論問題,並沒有任何實際用途。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 422–428. ISBN 0-13-805326-X.