摆线

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一条由滚动的圆所生成的摆线

数学中,摆线(Cycloid)被定义为,一个圆沿一条直线运动时,圆边界上一定点所形成的轨迹。它是roulette曲线的一个例子。

摆线也是最速降线问题等时降落问题的解。

历史[编辑]

摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa,之后梅森(Marin Mersenne)也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期,伴随着许多发现,也出现了众多有关发现权的争议,甚至抹杀他人工作的现象,而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。[1].

方程[编辑]

由半径为2的圆所生成的摆线

过原点半径为r的摆线参数方程为

x = r(t - \sin t)\,
y = r(1 - \cos t)\,

在这里实参数t是在弧度之下,圆滚动的角度。对每一个给出的t,圆心的坐标为(rt, r)。 通过替换解出t可以求的笛卡尔坐标方程

x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}

摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。

摆线也满足下面的微分方程

\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.

面积[编辑]

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定:

x = r(t - \sin t),\,
y = r(1 - \cos t),\,
0 \le t \le 2 \pi.\,

微分,

\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),

于是可以求得

\begin{align}
A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\
&= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\
&= 3 \pi r^2.
\end{align}

弧长[编辑]

弧形的长度可以由下面的式子计算出:

\begin{align}
S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\
&= 8r.
\end{align}

其它相关联的曲线[编辑]

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时,我们得到了短擺線(curtate cycloid)和長擺線(prolate cycloid),兩者合稱為次擺線(trochoid),前面的情形是定点在圆的内部,后者则是在圆外。trochoid则是上述三种曲线的统称。更进一步,如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话,我们会得到外摆线(epicycloid,沿着圆的外部运动,定点在圆的边缘),内摆线(hypocycloid,沿着圆内部滚动,定点在圆的边缘)以及外旋轮线(epitrochoid)和内旋轮线(hypotrochoid,定点可以在圆内的任一点包括边界。)

应用[编辑]

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建筑物的设计方面,摆线曾被Louis Kahn用来设计在他在Fort Worth, Texas的建筑,Kimbell Art Museum里。 它也曾被用作Hopkins Center in Hanover, New Hampshire.的设计。

参考[编辑]

  1. ^ Cajori, Florian. A History of Mathematics. New York: Chelsea. 1999177: . ISBN 978-0821821022. 
  • Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

外部连结[编辑]