摆线

一条由滚动的圆所生成的摆线

在数学中，摆线 (Cycloid) 被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是roulette曲线的一个例子。

摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。

历史

摆线的研究最初开始于Nicholas of Cusa，之后梅森 (Marin Mersenne) 也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。1634年G.P. de Roberval指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”(The Helen of Geometers)。.

方程

由半径为2的圆所生成的摆线

过原点半径为r的摆线参数方程为

$x = r(t - \sin t)\,$

$y = r(1 - \cos t)\,$

在这里实参数t 是在弧度之下，圆滚动的角度。对每一个给出的t ，圆心的坐标为 (rt, r)。 通过替换解出 t 可以求的笛卡尔坐标方程为

$x = r \cos^{-1} \left(1-\frac{y}{r}\right)-\sqrt{y(2r-y)}$

摆线的第一道拱由参数 t 在 (0, 2π) 区间内的点组成。

摆线也满足下面的微分方程。

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r-y}{y}.$

面积

一条由半径为 r 的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定：

$x = r(t - \sin t),\,$

$y = r(1 - \cos t),\,$

$0 \le t \le 2 \pi.\,$

微分，

$\frac{dx}{dt} = r(1- \cos t),$

于是可以求得

$\begin{align} A &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} y \, dx = \int_{t=0}^{t=2 \pi} r^2(1-\cos t)^2 \, dt \\ &= \left. r^2 \left( \frac{3}{2}t-2\sin t + \frac{1}{2} \cos t \sin t\right) \right|_{t=0}^{t=2\pi} \\ &= 3 \pi r^2. \end{align}$

弧长

弧形的长度可以由下面的式子计算出：

$\begin{align} S &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \sqrt{\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2} \, dt \\ &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\ &= 8r. \end{align}$

其它相关联的曲线

一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短擺線 (curtate cycloid) 和長擺線 (prolate cycloid)，兩者合稱為次擺線 (trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在圆外。trochoid则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得到 外摆线 (epicycloid) （沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线 (hypocycloid)（沿着圆内部滚动，定点在圆的边缘）以及外旋轮线 (epitrochoid)和内旋轮线 (hypotrochoid)（定点可以在圆内的任一点包括边界。）

应用

Cycloidal arches at the Kimbell Art Museum

在建筑物的设计方面，摆线曾被Louis Kahn用来设计在他在Fort Worth, Texas的建筑， Kimbell Art Museum 里。 它也曾被用作Hopkins Center in Hanover, New Hampshire.的设计。

参考

• An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). http://link.aps.org/abstract/PRL/v91/e215507

• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 445–47. ISBN 0-14-011813-6. 

外部连结

• 埃里克·韦斯坦因, Cycloid at MathWorld
• Cycloids at cut-the-knot
• A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
• Cicloides y trocoides
• Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.