擬對稱映射

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數學上,度量空間之間的擬對稱映射,是雙利普希茨映射的一個推廣。雙利普希茨映射把一個集合的直徑擴大或縮小不超過某常數倍,而擬對稱映射就適合一個較弱的幾何性質,就是保持了集合的相對大小:如果集合AB有直徑t,其間距離不超過t,那麼這兩個集合的大小的比例改變不超過某常數倍。擬對稱映射和擬共形映射也有關係,因為在很多情況這兩者其實等價。[1]

定義[编辑]

設(XdX)和(YdY)是度量空間。一個同胚 f:X → Y稱為η-擬對稱,若有一個遞增函數η : [0, ∞) → [0, ∞),使得對X中任何三個不同的點xyz都有

 \frac{d_Y(f(x),f(y))}{d_{Y}(f(x),f(z))} \leq \eta\left(\frac{d_X(x,y)}{d_X(x,z)}\right).

基本性質[编辑]

逆映射是擬對稱的:
f : X → Y是可逆η-擬對稱映射,則其逆映射是η1-擬對稱,其中η1(t) = 1/η(1/t).
擬對稱映射保持集合的相對大小:
ABX的子集,AB的子集,則
 \frac{1}{2\eta(\frac{\mathrm{diam}B}{\mathrm{diam}A})}\leq \frac{\mathrm{diam}f(B)}{\mathrm{diam}f(A)}\leq \eta\left(\frac{\mathrm{diam}B}{\mathrm{diam}A}\right).

參考[编辑]

  1. ^ Heinonen, Juha. Lectures on Analysis on Metric Spaces. Universitext. New York: Springer-Verlag. 2001: x+140. ISBN 0-387-95104-0.