擺

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傅科擺

鐘擺原理

擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

[编辑] 類型

[编辑] 小角度簡單擺

若最高處(速度=0)的繩子和最低處(速度最大值)的繩子角度為 $θ$ ，符合:

$\theta \le 5^\circ$

則可使用下列公式

[编辑] 公式

週期 $T$

- $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_L}{k}}$
- $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\mathrm{g}}}$

[编辑] 公式證明

一物體正在擺盪最高處(此時速度=0)，繩和中間繩有夾角 $θ$ ，繩長 $\ell$ ，和中間擺物距離 $x$
此物體受下列力的影響

繩子之拉力 $\vec{F}$
重力 $\vec{F}_g$

繩拉力 $\vec{F}$ 有分力

- $\vec{F} \cos{\theta} = \vec{F}_g = m_Gg$
- $\vec{F} \sin{\theta} = k\vec{x}$

∵ $\lim_{\theta \to 0} \theta$
∴ $\lim_{\cos{\theta} \to 1} \cos{\theta}$
$\Rightarrow \vec{F} \approx \vec{F}_g = m_Gg$
$\vec{F} \sin{\theta} = m_Gg ( \frac{x}{\ell} ) = k \vec{x}$
解出

- $k = \frac{m_Gg}{\ell}$

代入

- $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}}$

得到

- $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I\ell}{m_Gg}}$
根據廣義相對論得知， $m I = m G$

∴ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\mathrm{g}}}$

[编辑] 簡單擺

sin θ取為θ的誤差。

取 $L$ 為繩的長度， $\theta\,$ 為繩和垂直平面的線的交角， $\theta_0\,$ 為 $\theta\,$ 的最大值， $m\,$ 為錘的質量， $\ddot{\theta}$ 表示角度加速度 $\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}$ 。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

錘速率最高是在 $θ = 0$ 時。當錘昇到最高點，其速率為 $0\,$ 。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變。
運動方程為：

$m L \ddot{\theta} = m {\rm{g}} \theta$

注意不論 $\theta\,$ 的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當 $\theta\,$ 相當小的時候， $\sin \theta \approx \theta$ ，因此可得到一條齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期 $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{\rm{g}}}$ 。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

${{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$

$T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)$

$T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta$

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

$T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$

其中 $F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.$

週期可以用級數表示成：

$T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]$

[编辑] 衝擊擺

衝擊擺是來用計算彈殼速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量等恆，擺運動時能量等恆。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和彈殼產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將彈殼射向停止的錘，使錘和彈殼合在一起擺動。設錘質量為 $m p$ ，彈殼質量和初速度分別為 $m b$ 和 $v$ ，錘和彈殼碰撞後的速度為 $u$ 。

以下是彈殼速度的計算方法：

$m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u$ （動量等恆）

1 / 2(m b + m p) u 2 = (m b + m p) g h

（能量等恆）

解得 $v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}$ 。

真實圖片

[编辑] 倒單擺

[编辑] 凱特可倒擺

凱特可倒擺是由英國科學家Kater在1818年提出來測量重力加速度的工具。它比單擺準確。

在一根長桿上有一些重物。桿上有兩個刀口，分別在重心兩邊。設兩個刀口距離重心為 $h 1, h 2$ 。分別以兩個刀口為支點進行微角度簡諧運動，考慮力距，可以計算得擺動周期 $T 1, T 2$ 有以下關係：

$\frac{8 {\pi}^2}{g} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{h_1 + h_2} + \frac{T_1^2 - T_2^2}{h_1 - h_2}$

若調整重物的位置，使得 $T 1 = T 2$ ，便可以很簡單地透過實驗計算出 $g$ 的值。（詳細計算）

真實圖片

[编辑] 錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

[编辑] 複擺

複擺系統的一例

複擺系統是混沌的。

[编辑] 磁性擺

和複擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

[编辑] 應用

[编辑] 傅科擺

主条目：傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

[编辑] 鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變[1]
Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
以木製擺[2]
Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

[编辑] 參考

en:Pendulum (mathematics)
- Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
- The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005

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