擺

傅科擺

鐘擺原理

擺是一種實驗儀器，可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條繩或竿，和一個錘組成。錘繫在繩的下方，繩的另一端固定。當推動擺時，錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型

小角度簡單擺

若最高處(速度=0)的繩子和最低處(速度最大值)的繩子角度為$\theta\,$，符合:

• $\theta \leq 5^\circ$

則可使用下列公式

公式

週期$T$

• • $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_L}{k}}$
  • $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\mathrm{g}}}$

公式證明

一物體正在擺盪最高處(此時速度=0)，繩和中間繩有夾角$\theta\,$，繩長为$l\,$，相对于中間擺物的位移为$x\,$
此物體受下列力的影響

• 繩子之拉力大小$F\,$
• 重力大小$m_Gg\,$

繩拉力$\boldsymbol{F}$有分力

• • $F \cos{\theta} = m_Gg\,$
  • $F\sin{\theta} = kx\,$

∵$\underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1$
∴$F \approx m_Gg$
$F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{l} \right) = k x$
解出

• • $k = \frac{m_Gg}{l}$

代入

• • $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}}$

得到

• • $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_Il}{m_Gg}}$
• 根據廣義相對論得知，$m_I = m_G\,$

∴$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

簡單擺

sin θ取為θ的誤差。

取$L$為繩的長度，$\theta\,$為繩和垂直平面的線的交角，$\theta_0\,$為$\theta\,$的最大值，$m\,$為錘的質量，$\ddot{\theta}$ 表示角度加速度$\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}$。

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響：

• 錘速率最高是在$\theta=0$時。當錘昇到最高點，其速率為$0\,$。繩的張力沒有對錘做功，整個過程中動能和位能的和不變。
• 運動方程為：

$m L \ddot{\theta} = m {\rm{g}} \sin \theta$

注意不論$\theta\,$的值為何，運動週期和錘的質量無關。

當$\theta\,$相當小的時候，$\sin \theta \approx \theta$，因此可得到一條齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動，週期$T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{\rm{g}}}$。

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程：

${{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}$

$T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)$

$T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta$

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式：

$T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin\theta_0\over 2}, {\pi \over 2} \right)$

其中$F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.$

週期可以用級數表示成：

$T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]$

衝擊擺

衝擊擺是來用計算彈殼速度的實驗室儀器。它的原理為：物件碰撞前後動量守恒，擺運動時能量守恒。

衝擊擺和普通擺相似，特別之處它的錘會和彈殼產生完全非彈性碰撞，即碰撞後兩者會合為一。

將彈殼射向停止的錘，使錘和彈殼合在一起擺動。設錘質量為$m_p\,$，彈殼質量和初速度分別為$m_b\,$和$v\,$，錘和彈殼碰撞後的速度為$u\,$。

以下是彈殼速度的計算方法：

$m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u$（動量守恒）

$\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h$ （能量守恒）

解得 $v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}$。

真實圖片

倒單擺

凱特可倒擺

凱特可倒擺是由英國科學家Kater在1818年提出來測量重力加速度的工具。它比單擺準確。

在一根長桿上有一些重物。桿上有兩個刀口，分別在重心兩邊。設兩個刀口距離重心為$h_1,h_2$。分別以兩個刀口為支點進行微角度簡諧運動，考慮力矩，可以計算得擺動周期$T_1, T_2$有以下關係：

$\frac{8 {\pi}^2}{g} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{h_1 + h_2} + \frac{T_1^2 - T_2^2}{h_1 - h_2}$

若調整重物的位置，使得$T_1 = T_2$，便可以很簡單地透過實驗計算出$g$的值。（詳細計算）

真實圖片

錐擺

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時，繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動。

複擺

複擺系統的一例

複擺系統是混沌的。

磁性擺

和複擺一樣，磁性擺系統是混沌的。

應用

傅科擺

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

鐘擺

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響，有不同的設計：

• 柵形補償擺（Gridiron Pendulum）：以不同金屬（鋼和銅）配搭，保持擺的長度不變[1]
• Graham's pendulum：有一個水銀管柱，保持擺的重心不變
• 以木製擺[2]
• Ellicott compensated pendulum：用多個擺的結構配合

參考

• en:Pendulum (mathematics)
  • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
  • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005