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傅科擺
鐘擺原理

是一種實驗儀器,可用來展現種種力學現象。最基本的擺由一條或竿,和一個錘組成。錘繫在繩的下方,繩的另一端固定。當推動擺時,錘來回移動。擺可以作一個計時器。

類型[编辑]

小角度簡單擺[编辑]

若最高處(速度=0)的繩子和最低處(速度最大值)的繩子角度為\theta\,,符合:

  •  \theta \leq 5^\circ

則可使用下列公式

公式[编辑]

週期T

  •  T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_L}{k}}
  •  T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\mathrm{g}}}

公式證明[编辑]

一物體正在擺盪最高處(此時速度=0),繩和中間繩有夾角\theta\,,繩長为l\,,相对于中間擺物的位移为x\,
此物體受下列力的影響

  • 繩子之拉力大小F\,
  • 重力大小m_Gg\,

繩拉力\boldsymbol{F}有分力

    •  F \cos{\theta} =  m_Gg\,
    •  F\sin{\theta} = kx\,

\underset{\theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\cos \theta =1
F \approx  m_Gg
 F \sin{\theta} = m_Gg \left( \frac{x}{l} \right) = k x
解出

    •  k = \frac{m_Gg}{l}

代入

    •  T = 2 \pi \sqrt{\frac{m_I}{k}}

得到

 T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}

簡單擺[编辑]

Simple pendulum height.png
sin θ取為θ的誤差。

L為繩的長度,\theta\,為繩和垂直平面的線的交角,\theta_0\,\theta\,的最大值,m\,為錘的質量,\ddot{\theta} 表示角度加速度\alpha = \frac{{\rm{d}}^2 \theta}{{\rm{d}} t^2}

忽略空氣阻力以及繩的彈性、重量的影響:

  • 錘速率最高是在\theta=0時。當錘昇到最高點,其速率為0\,。繩的張力沒有對錘做功,整個過程中動能和位能的和不變。
  • 運動方程為:
m L \ddot{\theta} = m {\rm{g}} \sin \theta

注意不論\theta\,的值為何,運動週期和錘的質量無關。

\theta\,相當小的時候,\sin \theta \approx \theta,因此可得到一條齊次常係數微分方程。此為一簡諧運動,週期T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{\rm{g}}}

準確的運動週期不可以用基礎函數求得。考慮微分方程:

{{\rm{d}}t\over {\rm{d}}\theta} = {1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}
T = \theta_0\rightarrow0\rightarrow-\theta_0\rightarrow0\rightarrow\theta_0 = 4\left(\theta_0\rightarrow0\right)
T = 4{1\over\sqrt{2}}\sqrt{L\over {\rm{g}}}\int^{\theta_0}_0{1\over\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}\,{\rm{d}}\theta

將上式重寫成第一類橢圓函數的形式:

T = 4\sqrt{L\over {\rm{g}}}F\left({\sin{\theta_0\over 2}}, {\pi \over 2} \right)

其中F(k,\phi) = \int^{\phi}_0 {1\over\sqrt{1-k^2\sin^2{\theta}}}\,{\rm{d}}\theta.

週期可以用級數表示成:

 T = 2\pi \sqrt{L\over {\mathrm{g}}} \left[ 1+ \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sin^2\frac{\theta_0}{2} +  \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \right)^2 \sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \right)^2 \sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdots \right]

衝擊擺[编辑]

Ballistic pendulum.svg

衝擊擺是來用計算彈殼速度的實驗室儀器。它的原理為:物件碰撞前後動量守恒,擺運動時能量守恒

衝擊擺和普通擺相似,特別之處它的錘會和彈殼產生完全非彈性碰撞,即碰撞後兩者會合為一。

將彈殼射向停止的錘,使錘和彈殼合在一起擺動。設錘質量為m_p\,,彈殼質量和初速度分別為m_b\,v\,,錘和彈殼碰撞後的速度為u\,

以下是彈殼速度的計算方法:

m_b \times v + m_p \times 0 = (m_b + m_p) \times u動量守恒
\frac{1}{2} (m_b + m_p) u^2 = (m_b + m_p) g h能量守恒

解得 v = \frac{(m_b + m_p) \sqrt{2gh}}{m_b}


倒單擺[编辑]

Cart-pendulum.png

凱特可倒擺[编辑]

凱特可倒擺是由英國科學家Kater在1818年提出來測量重力加速度的工具。它比單擺準確。

在一根長桿上有一些重物。桿上有兩個刀口,分別在重心兩邊。設兩個刀口距離重心為h_1,h_2。分別以兩個刀口為支點進行微角度簡諧運動,考慮力矩,可以計算得擺動周期T_1, T_2有以下關係:

\frac{8 {\pi}^2}{g} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{h_1 + h_2} + \frac{T_1^2 - T_2^2}{h_1 - h_2}

若調整重物的位置,使得T_1 = T_2,便可以很簡單地透過實驗計算出g的值。(詳細計算

真實圖片

錐擺[编辑]

錐擺的路徑是平面上圓。擺運動時,繩的路徑為一個圓錐面。這是圓周運動

複擺[编辑]

複擺系統的一例

複擺系統是混沌的。

磁性擺[编辑]

和複擺一樣,磁性擺系統是混沌的。

應用[编辑]

傅科擺[编辑]

傅科擺的移動可作為地球自轉的證據。

鐘擺[编辑]

擺鐘。

為了減少溫度變化的影響,有不同的設計:

  • 柵形補償擺(Gridiron Pendulum):以不同金屬(鋼和銅)配搭,保持擺的長度不變[1]
  • Graham's pendulum:有一個水銀管柱,保持擺的重心不變
  • 以木製擺[2]
  • Ellicott compensated pendulum:用多個擺的結構配合

參考[编辑]

  • en:Pendulum (mathematics)
    • Paul Appell, "Sur une interprétation des valeurs imaginaires du temps en Mécanique", Comptes Rendus Hebdomadaires des Scéances de l'Académie des Sciences, volume 87, number 1, July, 1878.
    • The Pendulum: A Physics Case Study, Gregory L. Baker and James A. Blackburn, Oxford University Press, 2005