支出最小化

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支出最小化问题,在经济学,特别是微观经济学中是效用最大化问题对偶问题,直观地说就是:“需要多少钱我才能让我觉得高兴?” 给定效用函数价格,和效用目标,这个问题可以分为两部分。

  • 消费者需要多少钱?这个由支出函数来回答。
  • 消费者会买些什么在最小化支出的情况下满足其的效用目标?这个由希克斯需求对应来回答。

支出函数[编辑]

假设消费者有一个定义在L种商品\mathbf{x}\in\mathbb{R}^L_+上的效用函数u。则该消费者的支出函数给出在给定价格为\mathbf{p}的情况下购买一组商品x,使得得到的效用u(x)\geq u^*时所需钱的数额。 形式上,支出函数可以这样定义。

e(\mathbf{p}, u^*) = \min_{\mathbf{x} \in \geq(u^*)} \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}

这里

\geq(u^*):= \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^L_+ | u(\mathbf{x}) \geq u^*\}

表示所得效用至少等于u^*的组合的集合。

希克斯需求对应[编辑]

希克斯需求对应 \mathbf{h}(\mathbf{p}, u^*)定义为一个得到所需效用的最便宜组合。它也可以用支出函数来定义马歇尔需求对应

\mathbf{h}(\mathbf{p}, u^*) = \mathbf{x}(\mathbf{p}, e(\mathbf{p}, u^*))

如果马歇尔需求对应\mathbf{x}(\mathbf{p}, w)是一个总是给出唯一解的函数,则与之相对应的希克斯需求对应\mathbf{h}(\mathbf{p},u^*) 也可以被称为是希克斯需求函数

相关条目[编辑]

参考文献[编辑]

  • Mas-Colell, A., M. Whinston, and J. Green, 1995, Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0195073401