支撑集

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数学中,一个定义在集合X上的函数f支撑集,或简称支集,是指X的一个子集,满足f恰好在这个子集上非0。最常见的情形是,X是一个拓扑空间,比如实数轴等等,而函数f在此拓扑下连续。此时,f支撑集被定义为这样一个闭集CfX \backslash C中为0,且不存在C闭子集也满足这个条件,即,C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包

特别地,在概率论中,一个概率分布随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

紧支撑[编辑]

一个函数被称为是紧支撑于空间X的,如果这个函数的支撑集是X中的一个紧集。例如,若X是实数轴,那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上,这是函数必须在有界集外为0的一个特例。在好的情形下,紧支撑的函数所构成的集合,在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中,是稠密集的,当然在给定的具体问题中,这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的\epsilon > 0,一个定义在实数轴X上的函数f在无穷远处消失,可以粗略通过通过选取一个紧子集C来描述:

|f(x) - 1_C(x)f(x)| < \epsilon

其中1_C(x)表示C指示函数

注意,任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地,将支撑集的概念推广到分布,比如狄拉克函数:定义在直线上的\delta(x)。此时,我们考虑一个测试函数F,并且F是光滑的,其支撑集不包括0。由于\delta(F)(即\delta作用于F)为0,所以我们说\delta支撑集\{0\}。注意实数轴上的测度(包括概率测度)都是分布的特殊情况,所以我们也可以定义一个测度支撑集

奇支集[编辑]

傅立叶分析的研究中,一个分布的奇支集奇异支集有非常重要的意义。 直观地说,这个集合的元素都是所谓的奇异点,即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如,单位阶跃函数傅立叶变换,在忽略常数因子的情况下,可以被认为是1/x,但这在x = 0时是不成立的。所以很明显地,x = 0是一个特殊的点,更准确地说,这个分布的傅立叶变换的奇支集\{0\},即对于一个支撑集包括0的测试函数而言,这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分

对于多变量的分布,奇支集也可以更精确地被描述为波前集英语wave front set,从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象,如在试图将分布'相乘'时候导致的问题(狄拉克函数的平方是不存在的,因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交)。

支撑族[编辑]

支撑族是一个抽象的拓扑概念,昂利·嘉当在一个中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候,在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。X的一组闭子集\Phi是一个支撑族,如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张\Phi的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何Y \in \Phi,在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间,并且存在一些Z \in Pi是一个邻域。如果X是一个局部紧空间英语locally compact space,并且是豪斯多夫空间,所有的紧子集组成的族满足上的条件,那么就是仿紧化的。