收敛半径

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

收敛半径数学中与幂级数有关的概念。一个幂级数收敛半径是一个非负的扩展实数(包括无穷大)。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内(严格小于时),幂级数对应的函数一致收敛,并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义[编辑]

定义幂级数 f 为:f(z) =  \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,。其中常数 a收敛圆盘的中心,cn 为第 n系数,z 为变量。

收敛半径 r 是一个非负的实数或无穷大(\scriptstyle \infty),使得在 |z-a| < r 时幂级数收敛,在 |z-a| > r 时幂级数发散。

具体来说,当 za 足够接近时,幂级数就会收敛,反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r 的收敛圆上,幂级数的敛散性是不确定的:对某些 z 可能收敛,对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z 都收敛,那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算[编辑]

根据达朗贝尔审敛法收敛半径R满足:如果幂级数\sum a_n x^n满足\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho,则:

 \rho是正实数时,R = {1 \over \rho}
 \rho = 0时,R = \infty
 \rho = \infty时,R = 0

根据根值审敛法,则有柯西-阿达马公式

R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}
或者\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

复分析中的收敛半径[编辑]

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数,就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画:

一个中心为 a 的幂级数 f 的收敛半径 R 等于 a 与离 a 最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

a 的距离严格小于 R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘

最近点的取法是在整个复平面中,而不仅仅是在实轴上,即使中心和系数都是实数时也是如此。例如:函数

f(z)=\frac{1}{1+z^2}

没有复根。它在零处的泰勒展开为:

\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的,函数 f(z) 在 ±i 存在奇点,其与原点0的距离是1。


简单的例子[编辑]

三角函数中的反正切函数可以被表达成幂级数:

\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子[编辑]

考虑如下幂级数展开:

\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n

其中有理数 Bn 是所谓的伯努利数。对于上述幂级数,很难运用审敛法来计算收敛半径,但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果:当 z=0 时,函数没有奇性,因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值,即使得

e^z-1=0

的复数 z。设z = x + iy,那么

e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)),\,

要使之等于1,则虚部必须为零。于是有 y = k\pi,其中 k \in Z \ , \ k \neq 0 。同时得到 x=0。回代后发现 k 只能为偶数,于是使得分母为零的 z2k\pi i 的形式,其中 k \in Z \ , \ k \neq 0

离原点最近距离为 2\pi,于是收敛半径为 2\pi

收敛圆上的敛散性[编辑]

如果幂级数在 a 附近可展,并且收敛半径为 r,那么所有满足 |z − a| = r 的点的集合(收敛圆盘的边界)是一个圆,称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛,也不一定绝对收敛


例 1: 函数 ƒ(z) = (1 − z)−1z = 0 处展开的幂级数收敛半径为1,并在收敛圆上的所有点处发散。

例 2: 函数 g(z) = ln(1 − z) 在z = 0 处展开的幂级数收敛半径为1,在z = 1 处发散但除此之外,在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数 ƒ(z) 是 -g(z) 的复导数

例 3: 幂级数

 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数,那么 h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z 後的导数。 h(z) 是双对数函数。

例 4: 幂级数

P(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\cdot n}(z^{2^{n-1}} + \cdots + z^{2^n-1})

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收敛,但是并不在收敛圆上绝对收敛[1]

收敛速率[编辑]

将下列函数在 x = 0 处展开:

f(x)=\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} =  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \ \forall x

可以看到收敛半径为 \scriptstyle\infty,也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是,在实际操作中,人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如,要得到 ƒ(0.1) = sin(0.1) 的前5位有效数字,只需要计算级数的前两项。然而,在 x = 1 时,要得到相同的精确度,就要计算前5项。对于 ƒ(10),需要18项,对于 ƒ(100) 则需要141项。

文中提及的曲线的图例: 红、蓝线为逼近线,白圈为收敛圆。

可以看出,越靠近中心,收敛的速度就越快,反之则收敛速率降低。

图例[编辑]

考虑函数 1/(z2 + 1),对应的图像见右。函数在 z = \scriptstyle \pmi 处有极点

与上面的例子类似,由于最近的奇点与原点距离为1,收敛半径为1。函数在 z = 0 处的泰勒级数收敛当且仅当 |z| < 1。

狄利克雷级数的收敛度规[编辑]

与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数收敛度规,也就是使得级数 \sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s} 收敛的最小的 s,其只依赖于数列 an

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ Sierpiński, Wacław, O szeregu potęgowym który jest zbieżny na całem swem kole zbieżności jednostajnie ale nie bezwzględnie, Prace matematyka-fizyka, 1918, 29: 263–266 

外部链接[编辑]