收敛半径

收敛半径是数学中与幂级数有关的概念。一个幂级数的收敛半径是一个非负的扩展实数（包括无穷大）。收敛半径表示幂级数收敛的范围。在收敛半径内（严格小于时），幂级数对应的函数一致收敛，并且幂级数就是此函数展开得到的泰勒级数。但是在收敛半径上幂级数的敛散性是不确定的。

定义

定义幂级数 f 为：$f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n,$。其中常数 a 是收敛圆盘的中心，c_n 为第 n 个複系数，z 为变量。

收敛半径 r 是一个非负的实数或无穷大（$\scriptstyle \infty$），使得在 $|z-a| < r$ 时幂级数收敛，在 $|z-a| > r$ 时幂级数发散。

具体来说，当 z 和 a 足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。在 |z - a| = r 的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：对某些 z 可能收敛，对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z 都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径的计算

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径$R$满足：如果幂级数$\sum a_n x^n$满足$\lim_{n \to \infty} {a_{n+1} \over a_n} = \rho$，则：

$\rho$是正实数时，$R = {1 \over \rho}$。

$\rho = 0$时，$R = \infty$。

$\rho = \infty$时，$R = 0$。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式：

$R=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}$

或者$\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}$。

复分析中的收敛半径

将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。收敛半径可以被如下定理刻画：

一个中心为 a 的幂级数 f 的收敛半径 R 等于 a 与离 a 最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。

到 a 的距离严格小于 R 的所有点组成的集合称为收敛圆盘。

最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。例如：函数

$f(z)=\frac{1}{1+z^2}$

没有复根。它在零处的泰勒展开为：

$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{2n}$

运用达朗贝尔审敛法可以得到它的收敛半径为1。与此相应的，函数 $f(z)$ 在 ±i 存在奇点，其与原点0的距离是1。

简单的例子

三角函数中的正切函数可以被表达成幂级数：

$\arctan(z)=z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{5}-\frac{z^7}{7}+\cdots .$

运用审敛法可以知道收敛半径为1。

一个更复杂的例子

考虑如下幂级数展开：

$\frac{z}{e^z-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} z^n$

其中有理数 B_n 是所谓的伯努利数。对于上述幂级数，很难运用审敛法来计算收敛半径，但运用上面提到的复域中的准则就可以很快得到结果：当 z=0 时，函数没有奇性，因为是可去奇点。仅有的不可去奇点是其他使分母为零的取值，即使得

$e^z-1=0$

的复数 z。设z = x + iy，那么

$e^z = e^x e^{iy} = e^x(\cos(y)+i\sin(y)),\,$

要使之等于1，则虚部必须为零。于是有 $y = k\pi$，其中 $k \in Z \ , \ k \neq 0$。同时得到 $x=0$。回代后发现 $k$ 只能为偶数，于是使得分母为零的 z 为$2k\pi i$ 的形式，其中 $k \in Z \ , \ k \neq 0$。

离原点最近距离为 $2\pi$，于是收敛半径为 $2\pi$。

收敛圆上的敛散性

如果幂级数在 a 附近可展，并且收敛半径为 r，那么所有满足 |z − a| = r 的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例 1: 函数 ƒ(z) = (1 − z)⁻¹ 在z = 0 处展开的幂级数收敛半径为1，并在收敛圆上的所有点处发散。

例 2: 函数 g(z) = ln(1 − z) 在z = 0 处展开的幂级数收敛半径为1，在z = 1 处发散但除此之外，在收敛圆上所有其它点上都收敛。例1中的函数 ƒ(z) 是 -g(z) 的复导数。

例 3: 幂级数

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} z^n$

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上收敛。设 h(z) 是这个级数对应的函数，那么 h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z 後的导数。 h(z) 是双对数函数。

例 4: 幂级数

$P(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n\cdot n}(z^{2^{n-1}} + \cdots + z^{2^n-1})$

的收敛半径是 1 并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

收敛速率

将下列函数在 x = 0 处展开：

$f(x)=\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \ \forall x$

可以看到收敛半径为 $\scriptstyle\infty$，也就是说幂级数对所有的复数变量值收敛。但是，在实际操作中，人们常常更关心函数值的精确度。展开的项数和展开点与变量的取值都会影响结果的准确度。例如，要得到 ƒ(0.1) = sin(0.1) 的前5位有效数字，只需要计算级数的前两项。然而，在 x = 1 时，要得到相同的精确度，就要计算前5项。对于 ƒ(10)，需要18项，对于 ƒ(100) 则需要141项。

文中提及的曲线的图例: 红、蓝线为逼近线，白圈为收敛圆。

可以看出，越靠近中心，收敛的速度就越快，反之则收敛速率降低。

图例

考虑函数 1/(z² + 1)，对应的图像见右。函数在 z = $\scriptstyle \pm$i 处有极点。

与上面的例子类似，由于最近的奇点与原点距离为1，收敛半径为1。函数在 z = 0 处的泰勒级数收敛当且仅当 |z| < 1。

狄利克雷级数的收敛度规

与收敛半径类似的一个概念是狄利克雷级数的收敛度规，也就是使得级数 $\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n^s}$ 收敛的最小的 s，其只依赖于数列 a_n。

参见

• 无穷级数
• 幂级数
• 阿贝尔定理
• 阿贝尔型定理和陶伯型定理
• 哈代-李特爾伍德圓法
• 收敛度规

参考来源

• Brown, James; Churchill, Ruel, Complex variables and applications, New York: McGraw-Hill. 1989, ISBN 978-0-07-010905-6 
• Stein, Elias; Shakarchi, Rami, Complex Analysis, Princeton, New Jersey: Princeton University Press. 2003, ISBN 0-691-11385-8 
• 幂级数. [2008-09-10]. 
• 毕节学院复变函数教程. [2008-09-10]. 

外部链接

• （英文）收敛半径是什么？. [2008-09-10].