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改進型韋格納分佈

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改進型韋格納分佈(modified Wigner distribution function),用於時頻分析的一種方法,屬於信號處理的範疇。它改進了韋格納分佈原有的相交項(cross term)的問題。
韋格納分佈是西元1932年由尤金·維格納所提出用於古典力學,但是亦可用於時頻分析。韋格納分佈與短時距傅立葉變換都可用於時頻分析,雖然前者通常擁有較高的解析度且有良好的數學特性,但當有兩個以上的信號成分時,韋格納分佈就會出現相交項問題,這在應用上造成很大的困擾。
因此在西元1995年,L. J. Stankovic和S. Stankovic提出了改進型韋格納分佈,以修正韋格納分佈中會出現的相交項問題。

原理[编辑]

韋格納分佈的數學定義[编辑]

 W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau

改進型韋格納分佈的數學定義[编辑]

為了改善韋格納分佈的相交項(cross-term)問題,改進型韋格納分佈在此引入了一個類似遮罩(mask)的函數,將相交項過濾掉。

    • 定義一:: W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau/2)w^*(-\tau/2)x(t+\tau/2)x^*(t-\tau/2)e^{-j2\pi\tau\,f}d\tau
,其中w(t)為遮罩函數. 常為方波,其方波寬度為參數B。可寫成  w(t)=\begin{cases} 1 \ \ \ if\ |t|<B \\ 0\ \ \ otherwise\end{cases}
    • 定義二:: W_x(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}P(\theta)Y(t,f+\theta/2)Y^*(t,f-\theta/2)d\theta
      , 其中  Y(t,f)=\int_{-\infty}^{\infty}w(\tau)x(t+\tau)e^{-j2\pi f\tau}d\tau; P(\theta)\, 類似遮罩函數,
P(\theta)\approx1\ , 當θ很小
P(\theta)\approx0\ , 當θ很大
適當地選擇P(\theta)\approx1\ 的範圍。若選的範圍太小,將會破壞原本的項(auto term)。

性能表現[编辑]

在此有兩個例子來說明改進型韋格納分佈確實能消除相交項。

  1. x(t)=\begin{cases} cos(3\pi t) \ \ \ t\le-4 \\ cos(6\pi t)\ \ \ -4<t\le4 \ \ \  \\ cos(4\pi t) \ \ \ t>4 \end{cases}

MWDF0.jpg

左圖是韋格納分佈;右圖是改進型韋格納分佈。可以很明顯地看出,改進型韋格納分佈大大地改進相交項的問題,相對地增加清晰度。
  1.  x(t)=exp(j \cdot(t-5)^3-j \cdot 6 \pi \cdot t)

MWDF1.jpg

左圖是韋格納分佈;右圖是改進型韋格納分佈。明顯地看出,改進型韋格納分佈確實可改進相交項的問題,同時增加清晰度。

同時參閱[编辑]

參考資料[编辑]

  • Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
  • L. J. Stankovic, S. Stankovic, and E. Fakultet, 「An analysis of instantaneous frequency representation using time frequency distributions-generalized Wigner distribution,」 IEEE Trans. on Signal Processing, pp. 549-552, vol. 43, no. 2, Feb. 1995