# 散度

$\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega$

## 定义

$\Phi_{\mathbf{A}}( \Sigma ) = \iint\limits_{\Sigma}\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S$

$\operatorname{div}\mathbf{A}(x) = \lim_{\delta V \rightarrow \{x\}} \oint_{ \Sigma } {\mathbf{A}\cdot\mathbf{n} \over |\delta V | } \; dS =\lim_{\delta V \rightarrow \{x\}}\frac{\Phi_{\mathbf{A}}( \Sigma )}{|\delta V|}$[2]:4

## 物理意义

${\textstyle \mathbf{P} }$为场域V中的一点，现作包围${\textstyle \mathbf{P} }$点的任一闭合曲面${\textstyle \mathbf{S} }$$\Delta V$是S面所围的区域。那么：${\displaystyle \oint_S{\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}}=\iiint\limits_{\Delta V}\mathrm{div}\mathbf{A}dV\;\;\;\;(1)}$

$\Delta V$向点P收缩，则M点就趋向于P点，所以在P点的散度可由下列极限表示${\displaystyle \mathrm{div}\mathbf{A} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta V} \oint_{S} {\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}} }$

${\displaystyle \mathrm{div}\mathbf{A} = \lim_{\Delta V \rightarrow 0}\frac{1}{\Delta V} \oint_{S} {\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S}}= \lim_{\Delta V \rightarrow 0}\frac{\Delta\Phi} {\Delta V}=\frac{d\Phi} {d V} }$

## 分量表示

### 直角坐标系

$\mathbf{A}(x,y,z)=P(x,y,z)\mathbf{i}+Q(x,y,z)\mathbf{j}+R(x,y,z)\mathbf{k}$

$\operatorname{div} \mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

### 圆柱坐标系

$\mathbf A = A_r(r, \varphi, z) \boldsymbol{e}_{r} + A_z(r, \varphi, z) \boldsymbol{e}_{z} + A_{\varphi}(r, \varphi, z)\boldsymbol{e}_{\varphi},$

$\operatorname{div}\, \mathbf A = \nabla\cdot\mathbf A = \frac1r \frac{\partial}{\partial r} (rA_r) + \frac1r \frac{\partial A_\varphi}{\partial\varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z}\, .$

### 球坐标系

$\mathbf A = A_r (r , \theta , \varphi ) \boldsymbol{e}_{r} + A_{\theta} (r , \theta , \varphi ) \boldsymbol{e}_{\theta} + A_{ \varphi } (r , \theta , \varphi ) \boldsymbol{e}_{\varphi } ,$

$\operatorname{div}\, \mathbf A = \nabla\cdot\mathbf A = \frac1{r^2} \frac{\partial}{\partial r}(r^2 A_r) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta\, A_\theta) + \frac1{r\sin\theta} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}.$

## 性质

$\operatorname{div}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{div}( \mathbf{F} ) + b\;\operatorname{div}( \mathbf{G} )$

$\varphi$是标量函数，F是向量场，则它们的乘积的散度为[2]:8

$\operatorname{div}(\varphi \mathbf{F}) = \operatorname{grad}(\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;\operatorname{div}(\mathbf{F}),$$\nabla\cdot(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \cdot \mathbf{F} + \varphi \;(\nabla\cdot\mathbf{F}).$

$\operatorname{div}(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = \operatorname{curl}(\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} \;-\; \mathbf{F} \cdot \operatorname{curl}(\mathbf{G}),$$\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}).$

$\operatorname{div} \, \operatorname{grad} f = \nabla \cdot \nabla f = \Delta f$ (在 $\mathbb{R}^n$ 的向量分析中 $\nabla \cdot \nabla f$ 也寫作 $\nabla^2 f)$

## 高斯散度定理

$\iiint\limits_{V}\mathrm{div}\mathbf{A}dv=\int\!\!\!\!\int_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\bigcirc\,\,\mathbf{A} \cdot \mathbf{n}dS$

## 历史

$\nabla \sigma = (\boldsymbol{i}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+ \boldsymbol{j} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} + \boldsymbol{k} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z})( B\boldsymbol{i}+C\boldsymbol{j}+D\boldsymbol{k})$
$= -\left(\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}+ \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}y}+\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}z} \right) +\left( \left(\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}y} - \frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} z}\right)\boldsymbol{i}+\left(\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}z} - \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d} x}\right)\boldsymbol{j}+\left(\frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}x} - \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}y}\right)\boldsymbol{k}\right)$

## 参考来源

1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 钟顺时. 《电磁场基础》. 清华大学出版社有限公司. 2006. ISBN 9787302126126.
2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 王蔷, 李国定, 龚克. 《电磁场理论基础》. 清华大学出版社有限公司. 2001. ISBN 9787302042518.
3. ^ 冯, 慈璋; 马, 西奎. 工程电磁场导论. 北京: 高等教育出版社. 2000.6(2013.11重新印刷): 326–327. ISBN 978-7-04-007988-3.
4. ^ 张兆顺, 崔桂香. 《流体力学》. 清华大学出版社有限公司. 1999: 30. ISBN 9787302031680 （中文）.
5. ^ 梯度、散度、旋度和调和量在柱面坐标系中的表达式. 浙江大学远程教育学院. [2012-08-18].
6. ^ 6.0 6.1 Roel Snieder. A Guided Tour of Mathematical Methods: For the Physical Sciences. Cambridge University Press, 2, 插图版, 修订版. 2004. ISBN 9780521834926 （英文）.
7. ^ 梯度、散度、旋度和调和量在球坐标系中的表达式. 浙江大学远程教育学院. [2012-08-18].
8. ^ 8.0 8.1 8.2 Michael J. Crowe. A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover books on advanced mathematics, 2nd Edition. 1994. ISBN 9780486679105.