数学分析

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微分方程中的奇異吸子,微分方程是數學分析中的重要領域,在科學及工程中有許多的應用

数学分析mathematical analysis)又称高级微积分(advanced calculus),是分析学中最古老、最基本的分支,一般指以微积分学无穷级数解析函數的一般理论为主要内容,并包括它们的理论基础(实数函数測度极限的基本理论)的一个较为完整的数学学科。它也是大学数学专业的一门基础课程。[1]

数学分析研究的內容包括實數複數、實函數及複變函數。数学分析是由微積分演進而來,而微積分中也包括許多數學分析的基礎概念及技巧。数学分析的方式和其幾何有關,不過只要任一數學空間有定義鄰域(拓扑空间)或是有針對兩物件距離的定義(度量空间),就可以用数学分析的方式進行分析。

历史[编辑]

亞理斯多德窮舉法計算正多邊形內接圓面積,這是一個非正式的極值的例子,而極值也是數學分析的基本概念之一

在古希腊数学的早期,数学分析的结果是隐含给出的。比如,芝诺两分法悖论就隐含了无限几何和。[2]再后来,古希腊数学家欧多克索斯阿基米德使数学分析变得更加明确,但还不是很正式。他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时,使用了极限和收敛的概念。[3]古印度数学英语Indian mathematics的早期,12世纪的数学家婆什迦羅第二给出了导数的例子,还使用过现在所知的罗尔定理

数学分析的创立始于17世纪以牛顿(Newton, I.)和莱布尼茨(Leibniz, G.W.)为代表的开创性工作,而完成于19世纪以柯西(Cauchy, A.-L.)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass, K.(T.W.))为代表的奠基性工作。从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析。其后,微积分学领域不断扩大,但许多数学家还是沿用这一名称。时至今日,许多内容虽已从微积分学中分离出去,成了独立的学科,而人们仍以分析统称之。数学分析亦简称分析(参见“分析学”)。

数学分析的研究对象是函数,它从局部和整体这两个方面研究函数的基本性态,从而形成微分学积分学的基本内容。微分学研究变化率等函数的局部特征,导数微分是它的主要概念,求导数的过程就是微分法。围绕着导数与微分的性质、计算和直接应用,形成微分学的主要内容。积分学则从总体上研究微小变化(尤其是非均匀变化)积累的总效果,其基本概念是原函数(反导数)和定积分,求积分的过程就是积分法。积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容。牛顿和莱布尼茨对数学的杰出贡献就在于,他们在1670年左右,总结了求导数与求积分的一系列基本法则,发现了求导数与求积分是两种互逆的运算,并通过后来以他们的名字命名的著名公式反映了这种互逆关系,从而使本来各自独立发展的微分学和积分学结合而成一门新的学科——微积分学。又由于他们及一些后继学者(特别是欧拉(Euler,L.))的贡献,使得本来仅为少数数学家所了解,只能相当艰难地处理一些个别具体问题的微分与积分方法,成为一种常人稍加训练即可掌握的近于机械的方法,打开了把它广泛应用于科学技术领域的大门,其影响所及,难以估量。因此,微积分的出现与发展被认为是人类文明史上划时代的事件之一。与积分相比,无穷级数也是微小量的叠加与积累,只不过取离散的形式(积分是连续的形式)。因此,在数学分析中,无穷级数与微积分从来都是密不可分和相辅相成的。在历史上,无穷级数的使用由来已久,但只在成为数学分析的一部分后,才得到真正的发展和广泛应用。

数学分析的基本方法是极限的方法,或者说是无穷小分析。洛比达(L'Hospital, G.-F.-A.de)于1696年在巴黎出版的世界上第一本微积分教科书,欧拉于1748年出版的两卷本沟通微积分与初等分析的书,书名中都出现过无穷小分析这个词。在微积分学发展的初期,这种新的方法显示出巨大的力量,因而得到大批重要的成果。许多与微积分有关的新的数学分支,如变分法微分方程以至于微分几何复变函数论,都在18—19世纪初发展起来。然而,初期的分析还是比较粗糙的,被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演绎的逻辑根据,使用着直观的猜测和自相矛盾的推理,以致在整个18世纪,对这种方法的合理性普遍存在着怀疑。这些怀疑在很大程度上是从当时经常使用的无穷小的含义与用法上引起的。随意使用与解释无穷小导致了混乱和神秘感。许多人参与了无穷小本质的论争,其中有些人,如拉格朗日(Lagrange, J.-L.),试图排除无穷小与极限,把微积分代数化。论争使函数与极限的概念逐渐明朗化。越来越多的的数学家认识到,必须把数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来。因而,从19世纪初开始了一个一个把分析算术化(使分析成为一种像算术那样的演绎系统)为特征的新的数学分析的批判改造时期。柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严密化的一个标志。在这本书中,柯西建立了接近现代形式的极限,把无穷小定义为趋于零的变量,从而结束了百年的争论。在极限的基础上,柯西定义了函数的连续性、导数、连续函数的积分和级数的收敛性(后来知道,波尔查诺(Bolzano, B.)同时也做过类似的工作)。进一步,狄利克雷于(Dirichlet, P.G.L.)1837年提出了函数的严格定义,魏尔斯特拉斯引进了极限的\varepsilon - \delta定义。基本上实现了分析的算术化,使分析从几何直观的局限中得到了“解放”,从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的神秘云雾。继而在此基础上,黎曼(Riemann, (G.F.) B.)于1854年和达布(Darboux, (J.-) G.)于1875年对有界函数建立了严密的积分理论,19世纪后半叶,戴德金(Dedekind, J.W.R)等人完成了严格的实数理论。至此,数学分析的理论和方法完全建立在牢固的基础之上,基本上形成了一个完整的体系,也为20世纪现代分析的发展铺平了道路[1]

在十九世紀末時,也發現了許多病態函數英语pathological (mathematics),像是處處不連續函數、處處連續但處處不可微分的魏爾斯特拉斯函數以及空間填充曲線英语Space-filling curve等,卡米爾·若爾當發展了若爾當測度,而格奧爾格·康托爾提出了現在稱為樸素集合論的理論,勒內-路易·貝爾證明了貝爾綱定理。在二十世紀初期,利用公理化的集合論將微積分進行形式化,昂利·勒貝格解決了量測問題,大卫·希尔伯特導入了希尔伯特空间來求解積分方程賦範向量空間的概念已經提出,1920年代時斯特凡·巴拿赫創建了泛函分析

重要概念[编辑]

度量空間[编辑]

數學中的度量空間是一個集合,而集合中兩個元素的距離(叫做度量)有清楚的定義。

大部份的數學分析都是針對特定的度量空間,最常見的是數線複數平面欧几里得空间、其他向量空間整數。數學中沒有度量的分包括有量測理論(描述大小而不是距離)及泛函分析(研究不需要距離概念的拓撲向量空間

度量空間是一個有序對(M,d),其中M是一集合,而dM中的度量〈也是函數〉

d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}

使得針對任何的x, y, z \in M,以下的敘述都成立:

  1. d(x,y) \ge 0    (非負性)
  2. d(x,y) = 0\, 若且唯若 x = y\,    (不可區別的等同原則英语identity of indiscernibles
  3. d(x,y) = d(y,x)\,    (對稱性)和
  4. d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)    (三角不等式

數列及極限[编辑]

數列是一個有序的列表,數列像集合一樣都是由元素組成,但和集合不同,數列有順序的概念,而完全相同的元素可以在數列中出現一至多次。更準確的說法,數列可以用定義域全序關係可數集(例如自然數)的函數來定義。

數列最重要的性質是收斂,若簡單的做非正式的定義,一數列若存在極限,表示此數列收斂。若繼續下非正式的定義,一個無窮數列an,若在n非常大時接近一數值x,則稱此數列有極限,而其極限為x,因此極限也可以視為是數列趨向的數值[4]。因此針對數列an,當n → ∞時,anx之間的距離會趨近於0:

\lim_{n\to\infty} a_n = x.

分支领域[编辑]

数学分析在当前被分为以下几个分支领域:

此外,像微分方程數值分析测度都和数学分析有關。

數學分析中的其他主題[编辑]

應用[编辑]

数学分析的技巧可以用在其他以下的領域:

物理科學[编辑]

經典力學相對論量子力學中大部份的內容都是以数学分析及微分方程為基礎。其中重要的微分方程包括牛頓第二運動定律水丁格方程愛因斯坦場方程

泛函分析是量子力學中的一個重要主題。

信號處理[编辑]

信號處理可以用在許多不同信號的處理上,不論是聲音無線電波、光波、地震波其至影像傅立葉分析可以取出信號中特定的成份,可以進一步將信號加強或是移除。大部份的信號處理技術都包括了將信號進行傅立葉轉換、轉換後信號進行簡單的處理,再進行反轉換[6]

其他數學領域[编辑]

数学分析的技巧可以用在以下的數學領域中:

近现代经典文献[编辑]

教材[编辑]

  • 《微积分学教程》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
  • 《数学分析原理》格里高利·米哈伊洛维奇·菲赫金哥尔茨著
  • 《数学分析讲义》阿黑波夫著
  • 《数学分析简明教程》辛钦著
  • 《数学分析》(共两卷)Zorich(卓里奇)著
  • 《微积分和数学分析引论》Richard Courant(柯朗)著
  • 《数学分析》Tom M.Apostol著
  • 《数学分析原理》Walter Rudin(卢丁)著
  • 《陶哲轩实分析》陶哲轩著
  • 《微积分入门》小平邦彦著
  • 《高等数学引论》(共四卷)华罗庚著,科学出版社
  • 《数学分析》(共两册)华东师范大学数学系
  • 《数学分析》(共两册)欧阳光中,朱学炎,金福临,陈传璋著
  • 《数学分析》(共两册)陈纪修,於崇华,金路著
  • 《数学分析新讲》(共三册)张筑生著
  • 《数学分析讲义》(共三册)刘玉莲,傅沛仁著
  • 《数学分析》(共三册)周民强,方企勤著

论著和习题集[编辑]

  • 《古今数学思想》1-4册,M.克莱因著,上海科学技术出版社
  • 《吉米多维奇数学分析习题集》鲍里斯·帕夫罗维奇·吉米多维奇著
  • 《数学分析中的问题和定理》G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)著
  • 《数学分析八讲》辛钦著
  • 《微积分五讲》龚升著
  • 《重温微积分》齐民友
  • 《数学分析习题课讲义》(上下两册)谢惠民等著
  • 《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文著
  • 《数学分析问题研究与评注》汪林等著
  • 《数学分析拾遗》赵显增著
  • 《数学分析习题演练》周民强著

参见[编辑]

参考文献[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 出自《数学辞海(第一卷)》
  2. ^ Stillwell英语John Stillwell. Infinite Series. 2004: 170. "无穷级数在古希腊数学中出现过,……例如,毫无疑问的,芝诺的两分法悖论考虑了将1分解为无穷级数:12 + 122 + 123 + 124 + ... and that Archimedes found the area of the parabolic segment (Section 4.4) essentially by summing the infinite series 1 + 14 + 142 + 143 + ... = 43。这些例子是几何级数求和的一些特例。" 
  3. ^ (Smith, 1958)
  4. ^ Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.Courant, p. 29.
  5. ^ THE MASLOV DEQUANTIZATION, IDEMPOTENT AND TROPICAL MATHEMATICS: A BRIEF INTRODUCTION
  6. ^ Theory and application of digital signal processing Rabiner, L. R.; Gold, B. Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, Inc., 1975.

书籍[编辑]

  • 《数学辞海(第一卷)》,山西教育出版社,中国科学技术出版社,东南大学出版社
  • Smith, David E. 1958. History of Mathematics. Dover Publications. ISBN 0-486-20430-8.
  • Stillwell, John. 2004. Mathematics and its History. 2nd ed. Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1.

外部链接[编辑]