数学基础

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数学基础(foundation of mathematics)研究整个数学的理论基础及其相关问题的一个专门学科.[1]

综述[编辑]

对于数学基础的关注和研究,可追溯至古代.但在较长的历史阶段中,只限于对单科数学分支基础的讨论.至于作为整个数学理论基础的探索,尤其是“数学基础”作为一门专门学科的形成和诞生,乃是20世纪初的事.当时也是由于多种因素和研究活动的汇合,尤其是在作为整个经典数学之理论基础的集合论中出现悖论之后,才把数学基础问题的研究推向高潮,并进一步促进了数学哲学的发展,直至最终成为20世纪数学领域中深入的研究活动之一。

关于几何基础的研究.欧几里得(Euclid)的《几何原本》一直被公认为是最早用严格的逻辑结构建立学科体系的典范.但其不足之处也一直为历代学者所关心.直到19世纪末,德国数学家希尔伯特(Hilbert,D.)才第一次给出了一个完备的欧几里得几何公理系统,这就是希尔伯特《几何基础》一书的核心内容.关于欧几里得几何基础研究的另一个重要线索,来自关于第五公设问题的探讨,长达两千年之久对第五公设的所有试证全告失败,由此导致非欧几何的建立和引起人们对于几何公理系统相容性问题的注意.后来知道:只要假定实数系统是相容的,那么欧几里得几何公理系统和罗巴切夫斯基几何公理系统都是相容的.而实数系统究竟相容与否,最终还是要归结到作为整个经典数学理论基础的集合论系统相容与否.

在其他方面,也有类似的涉及数学基础的问题.公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的古希腊数学家希帕索斯(Hippasus,(M))发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约,由于当时人们对于无理数的概念还一无所知,因而上述发现致使人们惊奇不安,数学史上称为第一次数学危机.数学史上又把18世纪微积分诞生以后在数学界产生的混乱局面称为第二次数学危机.在17世纪和整个18世纪,一方面微积分的理论和应用得到了广泛而迅速的发展,另一方面整个微积分却又是建立在含混不清的无穷小概念上,以致遭到各方面的非难和攻击.其中最为著名而激烈的攻击来自贝克莱(Berkley,G.)大主教,有所谓贝克莱悖论等.这就不能不迫使数学家们认真投入到如何为微积分奠定理论基础的工作中去.首先是法国数学家、力学家柯西(Cauchy,A.-L.)系统地发展了极限论,德国数学家戴德金(Dedekind,(J.W.)R.)在实数论基础上证明了极限论的基本定理,德国数学家康托尔(Cantor,G.(F.P.))和德国数学家外尔斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))避开了实无限小和实无限大的概念,发展了ε-δ方法和精化了极限论,从而避开了贝克莱悖论并给出解释方法.当时普遍认为极限论作为严格的分析基础的建立,数学的第一和第二次危机已获解决.但在实际上,建立极限论是以实数理论为基础的,而要建立严格的实数理论,又必须以集合论为基础,亦即最终还是归结到作为整个经典数学理论基础的集合论是否相容的问题.

19世纪,数学的各个分支都得到了迅速的发展,亟待建立一种能以统括各个数学分支的理论基础.这时康托尔系统地总结了长期以来数学的认识与实践,缔造了一门崭新的数学学科,即集合论.由于集合论的思想方法渗透到各个数学分支,同时从集合论的基本概念和思想规定出发,能导出整个经典数学,因此,大家公认集合论可以作为整个经典数学诸分支学科的共同的理论基础.但在集合论中却又偏偏出现了悖论,特别是那个十分基本而又直接涉及逻辑理论本身的罗素悖论的出现,惊动了整个西方数学界、逻辑学界和哲学界,人们恰当地将集合论悖论的出现所造成的困难局面,称之为第三次数学危机,而且在实质上是第一、第二次数学危机的进一步深化和发展,因为涉及的范围更大,涉及的问题更深.

正是在这样的历史背景下,“数学基础论”这一数学分科在20世纪初诞生了,摆在从事数学基础问题研究的数学家面前的首要任务,就是如何为数学的有效性重新建立可靠的依据.由于在这一工作中所持的基本观点不同,以致在数学基础的研究中形成了诸如逻辑主义派、直觉主义派、形式主义派等不同的流派.另一方面,在如何避免悖论的研究中,直接导致了作为排除悖论的重要方案之一的近代公理集合论的发展,在近代公理集合论中,能对历史上已经出现之逻辑数学悖论一一给出解释方法,即保证这些悖论不在近代公理集合论中出现,同时迄今也未发现有新的悖论在系统内出现,但却未能从理论上证明近代公理集合论在今后的展开中永远不会出现矛盾.因而近代公理集合论相对于康托尔的古典集合论而言,为整个经典数学提供了一个相对牢固的理论基础.还应指出,近代公理集合论是立足于修改康托尔的概括原则而去实现避免悖论出现的.

能否在集合论公理中保留概括原则而避免悖论?20世纪30年代,波茨娃尔(Бочевар,B.)曾考虑不修改概括原则,而立足于发展多值逻辑去避免悖论的出现,但却始终未能达到这一目标.

20世纪60年代,美国控制论专家扎德(Zadeh,L.A.)明确提出要用数学的手段和方法去处理那些为经典数学所拒绝研究的模糊现象,并由此创立了模糊数学.这标志着数学的发展已进入数学研究对象由精确性到模糊性的再扩充时代.20世纪后期,模糊数学发展迅速,应用范围极为广阔.但在另一方面,模糊数学也同样面临着一个如何奠定其理论基础的问题.解决这一奠基问题的方案有如下三种:其一是将模糊数学直接或间接地奠基于近代公理集合论,但这样发展起来的模糊数学只能成为经典数学的分支,而不能在更高的形式下包括经典数学;其二是为模糊数学建立它所特有的公理集合论系统;其三是拓宽精确性经典数学的逻辑基础和集合论基础,在数学基础理论意义下解决模糊谓词的造集问题,以求能为精确性经典数学和未来的不确定性数学(应在内容和方法上有别于扎德的模糊数学)提供一个共同的理论基础.

最后还应特别提到与数学基础论的发展有密切关系的另一个研究领域,这就是作为数学与哲学之间的边缘学科的数学哲学.数学哲学与哲学密切相关,但又与数学发展中的那些具有最普遍意义的课题有密切关系.当然,对于数学哲学的研究,无论是东方或西方,均可追溯到古代,但在很长的历史阶段中,数学哲学又只是作为自然哲学的一部分而未能形成独立的学科.直到19世纪末和20世纪初,由于数学基础论的诞生和发展,由于迫切需要深入研究数学领域中的那些带有极端普遍和根本性的问题,才促使数学哲学的研究日趋专门化,而最终形成独立的学科.特别是现代数学的蓬勃发展,又提出了一系列深刻的数学哲学问题,致使数学哲学这一学科进一步趋向全面繁荣的阶段.所以,数学哲学既是一个古老的研究领域,又是一门年轻的新兴学科.这一学科的研究价值和在数学发展中的作用日益明显,特别是关于数学认识论、数学方法论,以及数学发展规律的研究,有许多深刻的课题有待于人们去深入探索.数学哲学的研究包括数学本体论、数学认识论、数学方法论、数学发展的外在因素、数学发展规律以及数学哲学家的不同流派和观点等方面.数学哲学的研究将对数学工作者的世界观、思想方法、研究兴趣和研究力量的分布,甚至数学研究的基本趋势,都会产生重大影响.[1]

现状及争论[编辑]

数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑公理化集合论证明论模型论,和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为?

目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论形式逻辑的。事实上,所有现在的数学定理都可以用集合论的定理表述。数学命题的真实性在这个观点下,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法不能解释一些问题:为什么我们选择我们现在所用的而不是其他的公理,为什么我们使用我们所用的逻辑规则而不是其他的,为什么"真"数学命题(例如,算数的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被Eugene Wigner在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。

上述的形式化真实性也可能完全没有意义:完全可能所有命题,包括自相矛盾的命题,都可以从集合论公理导出。而且,作为歌德尔第二不完备定理的一个结果,我们永远不可能知道事情是不是就是这样。

数学现实主义(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下,自然定律和数学定律有同样的地位,而"有效性"不再"无理由"。不仅是我们的公理,而且是数学对象的真实世界构成了基础。那么,明显的问题在于,我们如何接触这个世界?

一些数学哲学的现代理论不承认基础在其原始意义上的存在性。有些理论倾向于聚焦于数学实践,把目标设定于描述和分析数学家作为社交群体的真实工作。其他的试图创造一个数学认知科学,聚焦于把人类的认知作为数学应用到"现实世界"时的可靠性的起点。这些理论建议只在人类的思考中找到基础,而不是任何"客观"的外在构造。这个主题一直很有争论性。

参考书目[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 《数学辞海(第四卷)》山西教育出版社中国科学技术出版社东南大学出版社

来源[编辑]

  • The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Eugene Wigner, 1960;
  • What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
  • Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
  • Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
  • Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部链接[编辑]

参见[编辑]