数学基础

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数学上,数学基础一词有时候用于数学的特定领域,例如数理逻辑公理化集合论证明论模型论,和递归论。但是寻求数学的基础也是数学哲学的中心问题:在什么终极基础上命题可以称为?

目前占统治地位的数学范式是基于公理化集合论形式逻辑的。實際上,幾乎所有现在的数学定理都可以表述為集合论下的定理。在这个观点下,所謂数学命题的真实性,不过就是该命题可以从集合论公理使用形式逻辑推导出来。

这个形式化的方法不能解释一些问题:为什么我们應沿用现行的公理而不是別的,为什么我们應沿用现行的逻辑规则而不是別的,为什么"真"数学命题(例如,算術領域的皮亚诺公理)在物理世界中似乎是真的。这被尤金·维格纳在1960年叫做“数学在自然科学中无理由的有效性”(The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences)。

上述的形式化真实性也可能完全没有意义:有可能所有命题,包括自相矛盾的命题,都可以从集合论公理导出。而且,作为歌德尔第二不完备定理的一个结果,我们永远無法排除這種可能性。

數學實在論(有时也叫柏拉图主义)中,独立于人类的数学对象的世界的存在性被作为一个基本假设;这些对象的真实性由人类发现。在这种观点下,自然定律和数学定律有類似的地位,因此"有效性"不再"无理由"。不是我们的公理,而是数学对象的真实世界构成了數學基础。但,显然的问题在于,我们如何接触这个世界?

一些数学哲学的现代理论不承认這種數學基础的存在性。有些理论倾向于專注数学实践英语Mathematical practice,並試圖把数学家的实際工作視為一種社會群體來作描述和分析。也有理論试图创造一个数学认知科学英语Numerical cognition,把数学在"现实世界"中的可靠性歸結為人類的認知。这些理论建议只在人类的思考中找到基础,

参考书目[编辑]

来源[编辑]

  • The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Eugene Wigner, 1960;
  • What is mathematical truth?, Hilary Putnam, 1975;
  • Mathematics as an objective science, Nicholas D. Goodman, 1979;
  • Some proposals for reviving the philosophy of mathematics, Reuben Hersh, 1979;
  • Challenging foundations, Thomas Tymoczko, 1986, preface to first section of New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986 and (revised) 1998, which includes also Putnam, Goodman, Hersh.

外部链接[编辑]

参见[编辑]