数量积

在数学中，数量积（也称为内积、标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

几何学定义与例子

两个向量a = [a₁, a₂,…, a_n]和b = [b₁, b₂,…, b_n]的点积定义为:

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n$

这裡的Σ指示总和符号。

例如，两个三维向量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是

$\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3$。

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^T$，

这裡的b^T指示矩阵b的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行向量）乘以一个3×1向量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):

$\begin{bmatrix} 1&3&-5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\-2\\-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$。

几何解释

A·B = |A| |B| cos(θ).
|A| cos(θ)是A到B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \;$,

这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若a和b都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：

$\cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}|}$

这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这裡，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于$\mathbb{R}^n$ ($n \le 3$)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是

$\left \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \right \rangle = \sum_{i=1}^n a_ib_i$

点积可以用来计算合力和功。若b为单位向量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

性质

• 点积满足交换律：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \;$

• 点积满足分配律:

$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$

• 点积是个双线性算子：

$\mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c}) = r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}) \;$

• 在乘以一个标量的时候点积满足:

$(c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$

(后两个性质从前两个得出)。

两个非零向量a和b是垂直的，当且仅当a·b = 0。

如果b是单位向量，则点积给出a在方向b上投影的大小，如果方向相反则带有负号。分解向量对求向量的和经常是有用的，比如在力学中计算合力。

不像普通数的乘法服从消去律，如果ab = ac，则b总是等于c除非a零。而对于点积:

如果a·b = a·c并且a ≠ 0:

则根据分配律可以得出: a· (b - c) = 0；进而:

如果a垂直于 (b - c)，则 (b - c) ≠ 0因而b ≠ c；否则b = c。

两种定义的等价性的证明

从定义

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \;$

可以得到定理

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta \;$.

为了证明后者是一个和前者等价的定义，需要证明前者可以导出后者。

注意：这个证明采用三维向量，但可以推广到n维的情形。

考虑向量

$\mathbf{v} = v_1 \mathbf{i} + v_2 \mathbf{j} + v_3 \mathbf{k} \;$.

重复使用勾股定理得到

$|\mathbf{v}|^2 = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$.

而根据第二个定义

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = v_1^2 + v_2^2 + v_3^2 \;$,

所以，向量v和自身的点积就是其长度的平方。

引理1

$\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = |\mathbf{v}|^2 \;$

现在，考虑两个从原点出发的向量a和b，夹角θ。第三个向量c定义为

$\mathbf{c} \equiv \mathbf{a} - \mathbf{b} \;$,

构造以a，b，c为边的三角形，采用余弦定理，有

$|\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta \;$.

根据引理1，用点积代替向量长度的平方，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$.                   （1）

同时，根据定义c ≡ a − b，有

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \cdot (\mathbf{a} - \mathbf{b}) \;$,

根据分配律，得

$\mathbf{c} \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) \;$.                       （2）

连接等式 （1）和 （2）有

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} -2(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{a} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{b} - 2 |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$.

简化等式即得

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos\theta \;$,

Q.E.D.

应用

物理学中力学的力做功的问题，经常用到点积计算。

计算机图形学常用来进行方向性判断，如两向量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。

向量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一。

此方法被用于动画渲染（Animation-Rendering）。

广义定义

在一个向量空间中，正定对称双线性形式即是数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。

参见

• 向量积