整函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

整函数entrie function)是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数平方根都不是整函数。

整函数f(z)可以用上极限定义如下:

\rho=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)},

其中r是到0的距离,M(r)\left|z\right| = r f(z)的最大绝对值。如果0<\rho<\infty ,我们也可以定义它的类型

\sigma=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(M(r))}{r^\rho}.

整函数在无穷远处可能具有奇点,甚至是本性奇点,这时该函数便称为超越整函数。根据刘维尔定理,在整个黎曼球面(复平面和无穷远处的点)上的整函数是常数。

刘维尔定理确立了整函数的一个重要的性质:任何一个有界的整函数都是常数。这个性质可以用来证明代数基本定理皮卡小定理强化了刘维尔定理,它表明任何一个不是常数的整函数都取遍所有的复数值,最多只有一个值例外,例如指数函数永远不能是零。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Ralph P. Boas. Entire Functions. Academic Press. 1954. OCLC 847696.