整性

在交換代數中，一個元素在一個環上的整性與環的整擴張推廣了代數數與代數擴張的概念。

定義

以下所論的環皆為含單位元的交換環。

設 $B$ 為環，$A$ 為其子環。對於一個元素 $b \in B$，若存在最高次首項係數等於一的多項式環 $f(X) \in A[X]$ 使得 $f(b)=0$，則稱 $b$ 是 $A$ 上的整元素。如果 $B$ 的每個元素都是整元素，則稱 $B$ 為 $A$ 的整擴張。

由有限性刻劃

假設同上。環的乘法與加法運算賦予 $B$ 自然的 $A$-模結構。對於一個元素 $b \in B$，下述條件彼此等價：

1. $b$ 在 $A$ 為整。
2. 子環 $A[b]$ 是有限生成的 $A$-模。
3. 存在包含 $A \cup \{b\}$ 的子環 $C \subset B$，而且 $C$ 是有限生成的 $A$-模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式的凱萊-哈密頓定理。

閉包性質

• （整閉包）利用有限性的刻劃，可知 $A$ 上的整元構成 $B$ 的子環，稱為 $A$ 在 $B$ 中的整閉包。
• （可遞性）考慮環擴張 $A \subset B \subset C$，若 $B$ 是 $A$ 的整擴張，而 $c \in C$ 在 $B$ 上為整，則它在 $A$ 上為整。特別是：若 $B/A$、$C/B$ 皆為整擴張，則 $C/A$ 亦然。

整同態

在整性的定義中，子環條件 $A \subset B$ 可以放寬為一個同態 $f: A \to B$，$b \in B$ 在 $A$ 上的整性定義為它對同態像 $f(A)$ 的整性，整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 $f: A \to B$，同樣可賦予 $B$ 一個 $A$-模結構，此時有限性判準依然成立。

文獻

• Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9