整性

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整性交換代數中的概念,用于描述在有理数的某些扩域中,某些元素是否有类似于整数的性质。元素的整性(是否为整元素)本质上只依赖于的概念。整性與環的整擴張推廣了代數數代數擴張的概念。

定義[编辑]

以下所論的環皆為含單位元的交換環

設有環ABAB的子環。设tB。若存在以A中元素为系数的首一多項式PA[X],使得P(t) = 0,則稱tA上的整元素。如果B的每個元素都是A上的整元素,則稱BA的整擴張。

由有限性刻劃[编辑]

假設同上。環的乘法與加法運算賦予 B 自然的 A-模結構。對於一個元素 b \in B,下述條件彼此等價:

  1. bA 為整。
  2. 子環 A[b] 是有限生成的 A-
  3. 存在包含 A \cup \{b\} 的子環 C \subset B,而且 C 是有限生成的 A-模。

此命題最常見的證明是利用關於行列式凱萊-哈密頓定理

閉包性質[编辑]

  • (整閉包)利用有限性的刻劃,可知 A 上的整元構成 B 的子環,稱為 AB 中的整閉包。
  • (可遞性)考慮環擴張 A \subset B \subset C,若 BA 的整擴張,而 c \in CB 上為整,則它在 A 上為整。特別是:若 B/AC/B 皆為整擴張,則 C/A 亦然。

整同態[编辑]

在整性的定義中,子環條件 A \subset B 可以放寬為一個同態 f: A \to Bb \in BA 上的整性定義為它對同態像 f(A) 的整性,整擴張的定義可以類似地推廣。透過同態 f: A \to B,同樣可賦予 B 一個 A-模結構,此時有限性判準依然成立。

文獻[编辑]

  • Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9