整数

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數學的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\mathbb{N}$ 整數 $\mathbb{Z}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\mathbb{Q}$ 高斯整数 $\mathbb{Z}[i]$ 代數數 $\mathbb{A}$ 實數 $\mathbb{R}$ 複數 $\mathbb{C}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\mathbb{Z}[\omega]$

延伸

雙複數 四元數 $\mathbb{H}$ 共四元數 八元數 $\mathbb{O}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\mathbb{S}$ 複四元數 Tessarine 大實數 超實數 ${}^\star\mathbb{R}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 π = 3.141592653… 自然對數的底 e = 2.718281828… 虛數單位 i = $+\sqrt{-1}$ 無窮大量 ∞

群论

群 基本概念 子群 正规子群 商群 群同态 (半)直积 离散群 有限单群分类 循环群 Zn 交错群 An 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群 F22..24 子怪兽群 B 怪兽群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 洛伦兹群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)

正整数（例如1、2、3）、负整数（例如−1、−2、−3）与零（0）合起來统称为整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z或$\mathbb{Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

分類

數學上，在整數集合中，有一些子集有特定術語：

正整數：大於0的整數

負整數：小於0的整數

非正整數

0與負整數

非負整數

0與正整數

代数性质

下表给出任何整数a，b和c的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	a + b  是整数	$a \times b$   是整数
结合律	a + (b + c) = (a + b) + c	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
交换律	a + b = b + a	$a \times b = b \times a$
存在单位元	$a + \boldsymbol {0} = a$	$a \times \boldsymbol {1} = a$
存在逆元	$a + (\boldsymbol {-a}) = 0$	在整数集中，只有1或 -1关于乘法存在整数逆元，其余整数a关于乘法的逆元为$\frac{1}{a}$，都不为整数。
分配律	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z,+）同构。

有序性质

Z是一个全序集，没有上界和下界。Z的序列如下：

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

1. 若a < b且c < d，则a + c < b + d
2. 若a < b且0 < c，则a × c < b × c；若c < 0，

则a × c > b × c.

整数环是一个欧几里德域。

電腦中的整數

字組位元數與整數範圍之關係

字組 位元數	非帶號整數		帶號整數		微處 理器
	下限	上限	下限	上限
8	0	255	-128	127	8080 Z80 6502
16	0	65535	-32768	32767	8086 80286
32	0	4.29497×109	-2.14748×109	2.14748×109	80386 80486 Pentium系 680X0
64	0	1.84467×1019	-9.22337×1018	9.22337×1018	Itanium

整數通常是程式設計語言的一種基礎資料型態，例如java及C 程式語言的int 資料類型，然而這種基礎資料型態只能表示有限的整數，其範圍受制於電腦的一個字組所包含的位元數所能表示的組合總數。當運算結果超出範圍時，即出現演算溢位，微處理器的狀態暫存器中的溢位旗標（overflow flag）會被設定，而系統則會產生溢位例外（overflow exception）或溢位錯誤（overflow error）。

電腦可處理帶號（signed）及非帶號（unsigned）整數，非帶號整數不包括負數。由於一般情況下要同時處理正數及負數，帶號整數把字組的最高有效位元（msb，即最左邊的位元）視為正負號（0代表正，1代表負），而數字則以二補數形式編碼，以簡化二進制運算的邏輯電路。

即使電腦字組的位元數有限，仍可透過編譯器及直譯器以軟體方式結合不同數目的字組以產生新的資料類型來加以擴展，於是在早期的8位元電腦上可處理16及32位元的整數，而在近代的32位元電腦上則可輕鬆地處理64位元的整數了。可變長度的整數（例如bignum）可以儲存任意大的整數，條件是有足夠記憶體存放。其它類型的整數長度都是固定的，例如某個數目的位元，通常取2的某次方（例如4、8、16等），或者某個固定位數（例如9個位、10個位）。

相反地，理論上的電腦（例如圖靈機）一般可以有無限的容量（但只是可數集）。

Z的基數

Z的基數（或勢）是ℵ₀，與N相同。這可以從Z建立一雙射函數到N來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}$

當該函數的定義域僅限於Z，則證明Z與N可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數