整数

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

正整数（例如1、2、3）、负整数（例如−1、−2、−3）与零（0）合起來统称为整数。和自然數一樣，整數也是一個可數的無限集合。這個集合在数学上通常表示为粗體Z或$\mathbb{Z}$，源于德语单词Zahlen（意为“数”）的首字母。

在代數數論中，這些屬於有理數的一般整數會被稱為有理整數，用以和高斯整數等的概念加以區分。

分類

數學上，在整數集合中，有一些子集有特定術語：

正整數：大於0的整數

負整數：小於0的整數

非正整數

0與負整數

非負整數

0與正整數

代数性质

下表给出任何整数$a$，$b$和$c$的加法和乘法的基本性质。

性質	加法	乘法
封闭性	$a + b$  是整数	$a \times b$   是整数
结合律	$a + (b + c) = (a + b) + c$	$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c$
交换律	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
存在单位元	$a + \boldsymbol {0} = a$	$a \times \boldsymbol {1} = a$
存在逆元	$a + (\boldsymbol {-a}) = 0$	在整数集中，只有1或 -1关于乘法存在整数逆元，其余整数$a$关于乘法的逆元为$\frac{1}{a}$，都不为整数。
分配律	$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$

全体整数关于加法和乘法形成一个环。环论中的整环、无零因子环和唯一分解域可以看作是整数的抽象化模型。

Z是一个加法循环群，因为任何整数都是若干个1或 -1的和。1和 -1是Z仅有的两个生成元。每个元素个数为无穷个的循环群都与（Z,+）同构。

有序性质

Z是一个全序集，没有上界和下界。Z的序列如下：

... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ...

一个整数大于零则为正，小于零则为负。零既非正也非负。

整数的序列在代数运算下是可以比较的，表示如下：

1. 若a < b且c < d，则a + c < b + d
2. 若a < b且0 < c，则a × c < b × c；若c < 0，

则a × c > b × c.

整数环是一个欧几里德域。

Z的基數

Z的基數（或勢）是ℵ₀，與N相同。這可以從Z建立一雙射函數到N來證明，亦即該函數要同時滿足單射及滿射的條件，例如：

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & \mbox{if } x \ge 0 \\ 2|x|, & \mbox{if } x < 0 \end{cases}$

當該函數的定義域僅限於Z，則證明Z與N可建立一一對應的關係，即兩集等勢。

参见

• 整數數列線上大全
• 超整數