數系

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在數學,數系指的是的不同集合

數系的例子包括:自然數整數有理數無理數...等。

數系的邏輯[编辑]

自然數[编辑]

皮亞諾〔Giuseppe Peano〕替自然數建立以下的定義:

  1. 自然數中有0
  2. 每一個自然數都必須有下一個自然數,並以S(a)表示。
  3. 自然數0前沒有自然數。
  4. 不同的自然數的下一個自然數都不同,即a=b即代表S(a)=S(b),相反亦成立。
  5. 若一個特性0擁有,而往後的自然數都擁有,這特性則視為自然數擁有。

根據這五個定義,所有自然數的特性皆可推斷。而數則以1=S(0)表示。

數系皆擁有等價關係,即:

  1. 自反性:\forall x \in A,~~(x, x) \in R
  2. 对称性:\forall x, y \in A,~~(x, y) \in R ~~ \implies ~~(y, x) \in R
  3. 传递性:\forall x, y, z \in A, ~~~((x, y) \in R \wedge (y, z) \in R)~~\implies~~(x, z) \in R

定義下自然數可進行運算,以下為加法的定義:

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)

〔這暗示S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1,所以以下S(x)皆會寫成x + 1〕

以下為乘法的定義:

a × 0 = 0
a × (b + 1) = a × b + a

a × b亦可寫成ab或是ab

以下為指數的定義:

a0 = 1
ab + 1 = ab × a

ab亦會寫成a ^ b或是a ** b,特別是當上標不可使用的時候〕

整數[编辑]

自然數可以以下方式擴展成整數,每一個非零的自然數a,就會出現一個整數-a,而它不是一個自然數。特別情形-0則定義為自然數0。後續函數亦可以S(-a) = - S(a - 1)的法則擴展至整數。

加法將以以下方法定義:

  • ab皆自然數,則-a + -b = -(a + b)。
  • a為整數,則a + 0 = a
  • b為一非零整數,則a + b = (a - 1) + S(b)。

減法定義與加法相同,即a - b = a + - b

乘法定義與自然數定義相同,但加入負負得正,負正得負的理念:

  • ab皆自然數,則a × -b = -a × b = -(ab)
  • ab皆自然數,則-a × -b = a × b = ab

有理數[编辑]

無理數[编辑]

多項式[编辑]

代數數[编辑]

實數[编辑]

若某複數a+bi中的b若等於0,此複數就為實數。

虛數[编辑]

若某複數a+bi中的b不等於0,就為虛數。 此外,若a+bi中的a等於0,就為純虛數。

備註[编辑]

參考資料[编辑]

參見[编辑]