文氏图

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集合A, B和C的文氏图

文氏图Venn[1]),或译溫氏圖维恩圖范氏圖,是在所谓的集合论(或者类的理论)数学分支中,在不太严格的意义下用以表示集合(或)的一种草图。它们用于展示在不同的事物群组(集合)之间的数学逻辑联系,尤其适合用来表示集合(或)类之间的“大致关系”,它也常常被用来帮助推导(或理解推导过程)关于集合运算(或类运算)的一些规律。

起源[编辑]

剑桥大学冈维尔与凯斯学院餐厅的彩色玻璃窗

约翰·维恩是19世纪英国哲学家数学家,他在1881年发明了文氏图。

例子[编辑]

在文氏图法中,如果有论域,则以一个矩形框(的内部区域)表示论域;各个集合(或类)就以圆/椭圆(的内部区域)来表示。两个圆/椭圆相交,其相交部分表示两个集合(或类)的公共元素,两个圆/椭圆不相交(相离或相切,而实际上在文氏图中相切是没有什么意义的,因为文氏图是以图形的内部区域来表示的)则说明这两个集合(或类)没有公共元素。

集合A和B

比如黃色的圆圈(集合A)可以表示两足的所有活物。蓝色的圆圈(集合B)可以表示会飞的所有活物。黃色和蓝色的圆圈交叠的区域(叫做交集)包含会飞两足的所有活物──比如鹦鹉。(把每个单独的活物类型想像为在这个图中的某个)。

人和企鹅會在橙色圆圈中不与蓝色圆圈交叠的部分中。蚊子有六足并且会飞,所以蚊子的点可以在蓝色圆圈中不与橙色圆圈交叠的部分中。不是两足并且不会飞的东西(比如鲸和响尾蛇)可以表示为在这两个圆圈之外的点。在技术上,上面的文氏图可以解释为"集合A和集合B之间的联系,它们可以有一些(但不是全部)的元素是公共的"。

集合AB的组合区域叫做集合AB并集。在这个个例中并集包含要么两足、要么会飞、要么两足并且会飞的所有东西。圆圈交叠暗示着两个集合的交集非空──就是说在事实上活物同时在黃色和蓝色圆圈中。

文氏图与其它的图示法一样,它不能准确表示一个集合(或类)中到底有哪些元素。

类似的图[编辑]

欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的区别只在於它们的应用领域中,就是说在被分割的全集的类型中。欧拉图展示对象的特定集合,文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。文氏图和欧拉图没有合并的原因可能是,欧拉的版本是早在100多年前就出现了的,欧拉已经有了足够多的成就了,而Venn只留下了这么一个图。

在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上,欧拉图要展示特定集合之间的联系,而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:

集合A, B和C

在这个例子中,一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪,集合B是在世界中能找到的所有食物。从这个图中,你可以看出所有奶酪都是食物,但是不是所有食物都是奶酪。进一步的说,集合C(比如说金属造物)与集合B没有公共元素(集合的成员),从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上,上述的图可以在数学上解释为"集合A是集合B的真子集,而集合C和集合B没有公共元素"。

或解释为一个三段论

  • 所有As是Bs
  • 没有Cs是Bs
  • 所以,没有Cs是As
  • 所以,没有As是Cs。

扩展到更多个集合[编辑]

Venn的四集合文氏圖
Venn的五集合文氏圖
Venn的使用橢圓的四集合文氏圖

歷來有許多把文氏图推广到多个集合的嘗試。Venn使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之後,才找到了一种能满足Venn關於對稱性的非正式要求。這是A. W. F. Edwards在设计彩色玻璃窗以缅怀Venn的時候,所得出的‘齿轮’方法:[2]

Edwards的三集合文氏图
Edwards的四集合文氏图
Edwards的五集合文氏图
Edwards的六集合文氏图

在大眾文化中[编辑]

在美國電視劇生活大爆炸(The Big Bang Theory)S1E14中,Leonard不小心買下了巨型時光機,他納悶道:誰會用800元就賣出一台全尺寸的時間機器? Sheldon回答:在文氏圖中,那是位於「不想再要時間機器」和「需要800元」兩個集合的交接區域。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 人民教育出版社课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书 数学1 必修. 北京: 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 9787107177057. 
  2. ^ Ian Stewart Another Fine Math You've Got Me Into 1992 ch4

外部链接[编辑]