斯图尔特定理

斯图尔特定理

斯图尔特定理，或译史都華定理、斯特瓦尔特定理、斯图沃特定理，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形$ABC$的邊$AB$上任意取一點$P$，則

$\overline{AP} \ \overline{BC}^2 + \overline{PB} \ \overline{CA}^2 = (\overline{AP} + \overline{PB}) \overline{PC}^2 + \overline{AP}^2 \ \overline{PB} + \overline{AP} \ \overline{PB}^2$。

证明

设a与p的交点为P。 对互补角APB和APC应用余弦定理，可得：

$b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,$

$c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }.\,$

把第一个等式乘以x，把第二个等式乘以y ：

$x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,$

$y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }.\,$

两式相加，得：

$x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y), \,$

证毕。