斯图尔特定理

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斯图尔特定理

斯图尔特定理或译史都華定理斯特瓦尔特定理斯图沃特定理[來源請求],又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明: 在三角形ABC的邊AB上任意取一點P,則

\overline{PC}  \  \overline{AB}^2 + \overline{PB}  \  \overline{AC}^2 = (\overline{PB} + \overline{PC}) \overline{PA}^2 + \overline{PC} \  \overline{PB}^2 + \overline{PB} \  \overline{PC}^2

证明[编辑]

ap的交点为P。 对互补角APBAPC应用余弦定理,可得:

 b^2 = p^2 + y^2 - 2 p y \cos { \theta } \,
 c^2 = p^2 + x^2 + 2 p x \cos { \theta }.\,

把第一个等式乘以x,把第二个等式乘以y :

 x b^2 = x p^2 + x y^2 - 2 p x y \cos { \theta } \,
 y c^2 = y p^2 + y x^2 + 2 p x y \cos { \theta }.\,

两式相加,得:

 x b^2 + y c^2 = (x+y) p^2 + x y (x + y), \,

证毕。