斯涅尔定律

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威理博·斯涅尔
折射機制示意圖。

光波從一種介質傳播到另一種具有不同折射率的介質時,會發生折射現象,其入射角與折射角之間的關係,可以用斯涅尔定律Snell's Law)來描述。斯涅尔定律是因荷兰物理学家威理博·斯涅尔而命名,又稱為「折射定律」。

光學裏,光線跟蹤科技應用斯涅尔定律來計算入射角與折射角。在實驗光學與寶石學裏,這定律被應用來計算物質的折射率。對於具有負折射率负折射率超材料metamaterial),這定律也成立,允許光波因負折射角而朝後折射。

斯涅尔定律表明,當光波從介質1傳播到介质2時,假若兩種介質的折射率不同,則会发生折射現像,其入射光和折射光都處於同一平面,稱為「入射平面」,并且与界面法线的夹角满足如下关系:

n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2

其中,n_1n_2分别是两種介质的折射率\theta_1\theta_2分别是入射光、折射光与界面法线的夹角,分别叫做「入射角」、「折射角」。

這公式稱為「斯涅尔公式」。

斯涅尔定律可以從費馬原理推導出來,也可以從惠更斯原理平移對稱性馬克士威方程組推導出來。

歷史[编辑]

伊本·沙爾的手稿頁面複印,證明他著實發現了折射定律。
按照沙爾作圖法詮釋,假設將長度比率L_1/L_2調整為與n_1/n_2相等,則入射線與折射線滿足斯涅尔定律。

最早有系統研究折射問題的學者是住在埃及的希臘人托勒密。西元二世紀,在著作《光學》(Optics)第五卷裏,他提出了他的折射實驗與定律。但是,他從做實驗得到的數據與結論並不準確,沒有給出正弦定律。在那時候,希臘學者不清楚正弦的概念。[1][2]

巴格達宮廷效勞的伊朗學者伊本·沙爾(Ibn Sahl)在984年的專著《論點火鏡子與透鏡》(On Burning Mirrors and Lenses)裏最先正確地描述折射定律。[3][4]他應用這定律來找出能夠將光聚焦而不會產生幾何像差透鏡的形狀。這種透鏡稱為曲折透鏡(anaclastic lens)。[5]很可惜的是其它學者並沒有注意到他的研究結果。之後很多年,人們都是從托勒密的錯誤理論開始研究折射。[1]

十一世紀初,阿拉伯學者海什木重做托勒密的實驗。他在著作《光學書》(Kitab al-Manazir, Book of Optics)裏,從做實驗得到的數據,粗略地總結出一些定則。他也沒有得到正弦定律。[6]

1602年,英國天文學者托馬斯·哈里奧特又重新發現了折射定律,可是,他並沒有發表他的結果,雖然他曾經在與约翰内斯·开普勒通信中提到這件事。[7]1621年,斯涅尔推導出一個數學等價形式,但是在他有生之年,學術界並不知道他的成就。勒内·笛卡儿在1637年專著《屈光學》(Dioptrics)裏,獨立地推導出這定律,並且用他的理論解析了一系列光學問題。在這導引裏,他做了兩個假定,第一個假定是光的傳播速度與介質密度呈正比,第二個假定是光速度沿著界面方向的分量守恆。1662年,皮埃爾·德·費馬發表了另一種導引,從他的版本的最小作用量原理推導出同樣的定律,但是費馬的假定是光的傳播速度與介質密度呈反比。因此,他激烈地反駁笛卡儿的解答,認為笛卡爾的假定有誤。[1]1802年,托馬斯·楊做實驗發現,當光波從較低密度介質傳播到較高密度介质時,光波的波長會變短,他因此推論光波的傳播速度會降低。[8]

根據歷史學者以撒·福雪斯(Issac Vossius)在著作《De natura lucis et proprietate》裏的敘述,笛卡儿先閱讀了斯涅尔的論文,然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張,難以置信;但是很多歷史學者都存疑曾經發生了這回事,費馬與惠更斯分別多次重複地譴責笛卡儿的行為缺失。儘管這不名譽事件所造成的風波,在法國,斯涅尔定律被稱為「笛卡儿定律」,或「斯涅尔-笛卡儿定律」

1678年,克里斯蒂安·惠更斯在著作《光論》(Traité de la Lumiere)裏表明,應用惠更斯原理,可以從光的波動性質,解釋或推導出斯涅尔定律。

從费马原理推導[编辑]

光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被混合形狀鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子反射,最終抵達點P。

費馬原理又稱為「最短時間原理」:光線傳播的路徑是需時最少的路徑[9]。費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值。例如,對於平面鏡,任意兩點的反射路徑光程是最小值;對於半橢圓形鏡子,其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值;對於半圓形鏡子,其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值;又如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。[8]

假設,介質1、介質2的折射率分別為n_1n_2,光線從介質1在點O傳播進入介質2,\theta_1為入射角,\theta_2為折射角。

光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。

從費馬原理,可以推導出斯涅尔定律。通過設定光程對於時間的導數為零,可以找到「平穩路徑」,這就是光線傳播的路徑。光線在介質1與介質2的傳播速度分別為

v_1=c/n_1
v_2=c/n_2

其中,c真空光速。

由於介質會減緩光線的速度,折射率n_1n_2都大於1

如右圖所示,從點Q到點P的傳播時間T

T=\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (l - x)^2}}{v_2}

根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間T對變數x的導數,設定其為零:

\frac{dT}{dx}=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2 + a^2}} + \frac{ - (l - x)}{v_2\sqrt{(l-x)^2 + b^2}}=0

根据正弦函数定义,可以得到傳播速度與折射角的關係式:

\frac{dT}{dx}=\frac{\sin\theta_1}{v_1} - \frac{\sin\theta_2}{v_2}=0

將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到斯涅尔定律:

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

從惠更斯原理推導[编辑]

按照惠更斯作圖法,平面波的直線傳播與球面波的徑向傳播。

惠更斯原理表明,波前的每一点可以視为产生球面次波的點波源,而以後任何时刻的波前则可看作是正切这些次波的包络。假設傳播速度為v的波前,在時間t=0為平面,在這波前的每一點所產生的球面次波,在時間t=\Delta t已傳播了距離v\Delta t,由於正切這些球面次波的包络只能為平面,所以波前在時間t+\Delta t為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。

惠更斯的分析

如右圖所示,光波從介質1傳播進入介質2,其入射角、折射角分別為\theta_1\theta_2,傳播速度分別為v_1v_2,假設v_1>v_2。在時間t_j時,光波的波前會包含點A_j和點 B_j的位置,標記這時的波前為\overline{A_j B_j}。假設時間t_jt_{j+1}之間的間隔為常數\Delta t,則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立:

A_0 A_1=B_0 B_1=B_1 B_2=B_2 B_3=v_1 \Delta t
A_1 A_2=A_2 A_3=A_3 A_4=B_3 B_4=v_2 \Delta t

從波前\overline{A_1  B_1}的每一個點波源發射出的球面次波,分別在介質1、介質2的傳播速度為v_1v_2\overline{A_2  B_2}必須正切這些球面次波。特別而言,在時間間隔\Delta t之後,波前\overline{A_2  B_2}在介質1的部分必須平行於相距v_1 \Delta t的波前\overline{A_1  B_1},而波前\overline{A_2  B_2}在介質2的部分必須正切從點波源A_1發射出的半徑為v_2 \Delta t的球面次波。所以,在通過界面時,會出現彎曲的波前\overline{A_2  B_2}

由於光波傳播的方向垂直於波前,所以在介質1、介質2裏,波前與界面之間的夾角分別等於入射角\theta_1、折射角\theta_2。直線段長度B_1 B_3A_1 A_3之間的關係為

B_1 B_3/\sin\theta_1=A_1 B_3=A_1 A_3/\sin\theta_2

\frac{v_1}{\sin\theta_1}=\frac{v_2}{\sin\theta_2}

應用折射率n的定義式:

n\ \stackrel{def}{=}\ c/v

其中,c光速

總結,斯涅尔定律成立:

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

其中,n_1n_2分別為介質1、介質2的折射率

從平移對稱性推導[编辑]

假設對某系統整體做一個平移之後,這系統仍舊保持不變,則稱此系統具有平移對稱性。從平移對稱性,可以推導出斯涅尔定律。[10]這是建立於橫向均匀界面不能改變橫向動量的道理。由於波向量\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)光子的動量成正比,假設介質1、介質2的界面垂直於z-方向,則在介質1、介質2裏的光波橫向傳播方向必須保持不變:

k_{x1} = k_{x2}
k_{y1} = k_{y2}

因此,

k_1 \sin\theta_1= k_2 \sin\theta_2

應用折射率n的定義式:

n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}

其中,\omega是光波的角頻率

總結,斯涅尔定律成立:

n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2

微觀至原子尺寸,雖然沒有任何界面是完全均勻的,假若精細至光波波長尺寸,傳播區域可以估視為均勻,則平移對稱性仍不失為優良近似。

從馬克士威方程組推導[编辑]

幾何光學的三條基礎定律為

  • 第一定律:入射波、反射波、折射波的波向量,與界面的法線共同包含於「入射平面」。
  • 第二定律:反射角等於入射角。這定律稱為「反射定律」。
  • 第三定律:n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2。這定律稱為「斯涅尔定律」,又稱為「折射定律」。

光波是電磁輻射,必須滿足馬克士威方程組與伴隨的邊界條件,其中一條邊界條件為,在邊界的臨近區域,電場平行於邊界的分量必須具有連續性。假設邊界為xy-平面,則在邊界,

E_{||,i}(x,y,0)+E_{||,r}(x,y,0)=E_{||,t}(x,y,0)

其中,E_{||,i}E_{||,r}E_{||,t}分別為在入射波、反射波、折射波(透射波)的電場平行於邊界的分量。

折射與反射機制示意圖。

假設入射波是頻率為\omega的單色平面波,則為了在任意時間滿足邊界條件,反射波、折射波的頻率必定為\omega。設定E_{||,i}E_{||,r}E_{||,t}的形式為

E_{||,i}=E_{||,i0}\ e^{i\mathbf{k}_i\cdot\mathbf{r} -\omega t}
E_{||,r}=E_{||,r0}\ e^{i\mathbf{k}_r\cdot\mathbf{r} -\omega t }
E_{||,t}=E_{||,t0}\ e^{i\mathbf{k}_t\cdot\mathbf{r} -\omega t }

其中,\mathbf{k}_i\mathbf{k}_r\mathbf{k}_t分別是入射波、反射波、折射波的波向量,E_{||,i0}E_{||,r0}E_{||,t0}分別是入射波、反射波、折射波的波幅(可能是複值)。

為了在邊界任意位置(x,y,0)滿足邊界條件,相位變化必須一樣,必須設定

k_{ix}x+k_{iy}y=k_{rx}x+k_{ry}y=k_{tx}x+k_{ty}y

因此,

k_{ix}=k_{rx}=k_{tx}
k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}

不失一般性,假設k_{iy}=k_{ry}=k_{ty}=0,則立刻可以推斷第一定律成立,入射波、反射波、折射波的波向量,與界面的法線共同包含於入射平面。

從波向量x-分量的相等式,可以得到

k_{i}\sin\theta_i=k_{r}\sin\theta_r

而在同一介質裏,k_{i}=k_{r}。所以,第二定律成立,入射角\theta_i等於反射角\theta_r

應用折射率n的定義式:

n\ \stackrel{def}{=}\ \frac{c}{v}=\frac{ck}{\omega}

可以推斷第三定律成立:

n_i\sin\theta_i=n_t\sin\theta_t

其中,n_t\theta_t分別是折射介質的折射率與折射角。

從入射波、反射波、折射波之間的相位關係,就可以推導出幾何光學的三條基礎定律。[11]

全內反射與臨界角[编辑]

假射光線從折射率較大的介質傳播進入折射率較小的介質,則入射角越大,光線的折射角也越大,直至當入射角大於臨界角時,由於折射角不能大於90°,這時會出現全內反射

「光密介質」是折射率比較大的介質;「光疏介质」是折射率比较小的介质。假設光從折射率為n_1的光密介质傳播進入到折射率為n_2的光疏介质(例如,從玻璃傳播進入到空气中),而入射角\theta_1等於临界角\theta_c,則折射光线会沿折射界面的切线进行,即折射角\theta_2=\pi/2。此时会有\sin\theta_2=1。因此,可推得

\sin\theta_c=\sin\theta_1=n_2/n_1

假若入射角\theta_1>\theta_c,則無法找到對應的折射角\theta_2,不存在折射光,而只存在反射光,這現象稱為全内反射临界角\theta_c是促使全内反射发生的最小入射角,它的值取决于两种介质的折射率的比值:

\theta_c=\sin^{-1}(n_2/n_1)

例如,水的折射率为1.33,空气的折射率近似等于1.00,临界角為

\theta_c=\sin^{-1}(1./1.33)=0.85角弧,即48.8°角度。

耗損性、吸收性、導電性介質[编辑]

在導電性介質裏,電容率與折射率都是複值,連帶的,折射角與波向數都是複值。這意味著,等實相位曲面的法線與界面的法線之間的角度等於折射角,而等波幅曲面是與界面相互平行的平面。由於這兩個曲面通常不會重疊在一起,這種波被稱為「非均勻波」。[12]折射波呈指數衰減,指數與折射率的複值部分成正比。[8][13]

各向異性物質[编辑]

對於各向同性或鏡面介質(例如玻璃),通常斯涅尔定律成立。對於各向異性介質,例如,方解石雙折射會將折射線分為兩束射線,「尋常射線」與「非常射線」。尋常射線照樣遵守斯涅尔定律,而非常射線可能會與入射線不共面。

参阅[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Grattan-Guinness, Ivor, Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences, 1. reprint, illustrated, annotated, JHU Press. 2003:  pp. 262-264, ISBN 9780801873966 
  2. ^ Ptolemy; Smith, A. Mark, Ptolemy's Theory of Visual Perception: An English Translation of the Optics, American Philosophical Society. 1996:  pp. 42ff, ISBN 9780871698629 
  3. ^ Wolf, K. B. (1995), "Geometry and dynamics in refracting systems", European Journal of Physics 16: 14–20.
  4. ^ Rashed, Roshdi. A pioneer in anaclastics: Ibn Sahl on burning mirrors and lenses. Isis. 1990, 81 (3): 464–491. doi:10.1086/355456. 
  5. ^ Sara Cerantola, "La ley física de Ibn Sahl: estudio y traducción parcial de su Kitāb al-ḥarraqāt / The physics law of Ibn Sahl: Study and partial translation of his Kitāb al-ḥarraqāt", Anaquel de Estudios Árabes, 15 (2004): 57-95.
  6. ^ Mihas, Pavlos. Use of History in Developing ideas of refraction, lenses and rainbow. Eighth International History, Philosophy, Sociology & Science Teaching Conference. University of Leeds, England. July 18, 2005. 
  7. ^ Kwan, A., Dudley, J., and Lantz, E. Who really discovered Snell's law?. Physics World. 2002, 15 (4): 64. 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 Hecht, Eugene, Optics. 4th, United States of America: Addison Wesley. 2002:  pp. 106-111, 127-129, 141, ISBN 0-8053-8566-5 (英文) 
  9. ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.. 1988:  pp. 255ff, 274, 345-346, ISBN 0-486-65632-2 
  10. ^ John D Joannopoulos, Johnson SG, Winn JN & Meade RD. Photonic Crystals: Molding the Flow of Light 2nd. Princeton NJ: Princeton University Press. 2008: pp. 31. ISBN 978-0-691-12456-8. 
  11. ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall. 1998:  pp. 386-389, ISBN 0-13-805326-X 
  12. ^ Born and Wolf, sec.13.2, "Refraction and reflection at a metal surface"
  13. ^ S. J. Orfanidis, Electromagnetic Waves & Antennas, sec. 7.9, Oblique Incidence on a Lossy Medium, [1]