斯科特域

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数学领域序理论域理论中,斯科特域Scott domain)是代数有界完全完全偏序。它得名于达纳·斯科特,他首先在域理论中研究了这些结构。斯科特域密切关系于代数格,不同之处只是缺乏最大元

形式定义[编辑]

形式的说,偏序集合 (D, ≤) 叫做斯科特域,如果下列成立:

性质[编辑]

因为空集当然有上界,我们从有界完全性得出最小元(空界的上确界)的存在性。还要注意尽管术语 "斯科特域"广泛的用于这个定义,术语"域"没有一般性意义: 它可以用于称呼在域理论中的很多结构并通常在使用前作出解释。但是,"域"确实是 斯科特自己最初用于这些结构的。此外,在某些出版物中 斯科特域常以其他名字如"代数半格"出现。

应当记住有界完全的性质等价于所有非空下确界的存在性。周知所有下确界的存在性蕴涵了所有上确界的存在性,并因此使偏序集合成为完全格。因此,当顶元素(空集的下确界)被连接(adjoin)到 斯科特域,可以得出:

  1. 新顶元素是紧致的(因为次序以前是有向完全的),
  2. 结果的偏序集合将是代数格

反过来,斯科特域在一定意义上"几乎"就是代数格。

斯科特域密切相关于斯科特信息系统,它组成了斯科特域的"语法"表示。

例子[编辑]

  • 所有有限偏序集合是有向完全和代数的。因此任何有界完全有限偏序集合很平常的就是斯科特域。
  • 自然数集带补充的顶元素 ω 构成了代数格,因此也是斯科特域。在此方面的更多例子请参见代数格
  • 考虑在字母表 {0,1} 的所有有限和无限的字的集合,按在字上的前缀序排序。所以,字 w 小于某个字 v,如果 wv 的一个前缀,就是说,如果有某个(有限或无限) 字 v' 使得 w v' = v。例如 10 ≤ 10110。空字是这个次序的底元素,而容易看出所有有向集合(总是)有上确界。类似的,你可以立即验证有界完全性。但是,结果的偏序集合当然缺乏顶元素而有很多极大元素(如 111... or 000...)。它也是代数的,因为所有有限字是紧致的,当然可以从有限字的链逼近无限字。因此这是斯科特域而不是代数格。
  • 作为反例,考虑在区间 [0,1] 内的实数,按自然次序排序。这个有界完全 cpo 不是代数的,实际上它只有一个紧致元素 0。

文献[编辑]

参见域理论中的文献。

参见[编辑]