斯里尼瓦瑟·拉马努金

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拉马努金
Srinivasa Ramanujan
Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg
出生 1887年12月22日(1887-12-22)
印度泰米爾納德邦埃羅德
逝世 1920年4月26日(32歲)
印度贡伯戈讷姆
居住地 Flag of Imperial India.svg 英属印度
 英國
研究領域 数学
母校 剑桥大学三一学院
学术指导 哈代李特爾伍德
著名成就 兰道-拉马努金常数
拉馬努金θ函數
Ramanujan conjecture
Ramanujan prime
Ramanujan–Soldner constant
Ramanujan theta function
Ramanujan's sum
Rogers–Ramanujan identities
Ramanujan's master theorem
受影响于 戈弗雷·哈羅德·哈代
签名

斯里尼瓦瑟·拉马努金泰米尔语ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்ISO 15919轉寫:Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār,又译拉马努詹,1887年12月22日-1920年4月26日)是印度歷史上最著名的数学家之一。沒受過正規的高等數學教育,沉迷数论,尤愛牽涉π质数数学常数的求和公式,以及整數分拆。慣以直覺(或者是跳步)導出公式,不喜作证明(事後往往证明他是對的)。他留下的那些沒有証明的公式,引发了後來的大量研究。1997年,《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊,用以发表有關「受到拉马努金影响的数学领域」的研究論文。

生平[编辑]

童年和早年生活[编辑]

拉马努金生于印度東南部泰米爾納德邦埃羅德。在1898年十岁的时候,进入貢伯戈訥姆一所中學,在那里他似乎第一次接触到正规的数学。在11岁时,他已经掌握了住在他家的房客的数学知识,他们是政府大学的学生,到13岁,他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金,他还帮学校处理把1200个学生(各有不同需要)分配给35个教师的后勤事务,他甚至在一半的给定时间内完成测验,还已经显示出对无穷级数的熟练掌握;他那时的同校的人后来回忆说:「我们,包括老师,很少可以理解他,并对他『敬而远之』」。但是,拉马努金在其他科目无法集中注意力,并在高中考试中不合格。在他生活的这个时段,他也相当穷困,经常到了挨饿的地步。

在印度的成年阶段[编辑]

因为结了婚,他必须找到工作。带着他的数学计算能力,他在真奈(舊稱馬德拉斯)到处找抄写员的工作。最后他找到了一个工作,並在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员联系。

作为真奈总会计师事务所的职员,拉马努金奢望可以完全投入到数学中而不用作其他工作。他恳请有影响的印度人给予支持,並在印度数学期刊上发表了一些论文,但并未成功找到经济支持。到这个时候,慕克吉(Ashutosh Mukherjee)爵士试图支持他的事业。

在1913年拉马努金發了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术界人士貝克(H. F. Baker)、霍布森(E. W. Hobson)、哈代(G. H. Hardy),只有三一学院的院士哈代注意到了拉马努金定理中所展示的天才。

读着不知名和未经训练的印度数学家的突然来信,哈代和他的同事利特爾伍德(J.E. Littlewood)评论道:「没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。」虽然哈代是当时著名的数学家而且是拉马努金所写的其中几个领域中的专家,他还是说很多定理:「完全打败了我」、「我从没见过任何像这样的东西。」

作为他的成果的一个例子,拉马努金给出了漂亮的连分数

\sqrt{\phi+2}- \phi = \cfrac{e^{-\frac{2\pi}{5}}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}} = 0.2840...

其中\phi=\frac{1+ \sqrt5}{2} 黄金分割

在英国的生活[编辑]

在起初的一些怀疑过后,哈代回信给了一些评论,要求其中一些发现的证明,并开始计划将拉马努金带到英国。作为正统的婆罗门,拉马努金咨询了他的旅行的星象,因为处于宗教的考虑到外国去他可能失去他的种姓。拉马努金的母亲做了个梦,其中家族女神告诉她不要阻拦她儿子的行程,所以他制定了行程,虽然他痛苦的尽力保持婆罗门的生活方式。

富有成果的合作开始了,哈代将之描述为:「我一生中最浪漫的事件」。哈代评论拉马努金的公式,有些他起先不能理解,他说:「只要看它们一眼就知道只有第一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的,因为如果不是的话,没人能有足够的想像力来发明他们。」哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金,并把拉马努金的天才比作至少和数学巨人欧拉雅可比(Carl Jacobi)的相当。拉马努金后来成为三一学院的院士,并得到了科学界最高级别的荣誉,英国皇家学会会员(FRS)。

疾病和返回印度[编辑]

健康问题困扰他一生,在远离家乡的国度,过度投入研究工作,拉马努金的健康在英国急剧恶化,可能压力让事情变得更糟,还有第一次世界大战蔬菜的稀缺。他被诊断为肺结核(Henderson, 1996年),以及严重维生素不足,但1994年由楊格(Dr. D.A.B Young)进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论为更可能他有肝变形虫病,一种感染肝臟的寄生虫。拉马努金在真奈待了很长时间这一事实进一步证实这一点,那是这种疾病广泛传播的沿海城市。那在当时是很难诊断的疑症,但一旦诊断当时已可治愈(Berndt, 1998年)。他于1919年返回印度,之后不久便在贡伯戈讷姆去世,他对这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。他的妻子賈納姬(S. Janaki Ammal)在以外生活,直至1994年逝世。结婚时賈納姬才九岁,在当时的印度这是相当常见的(Henderson, 1996年)。

精神生活[编辑]

拉马努金终生过着婆罗门的生活。关于他实际信仰的观点有很多区别:他的第一个印度传记作者把他描述为一个严格正统的婆罗门,而哈代(堅定的无神论者)相信他在涉及到形而上学的方面基本上是一个不可知论者。

哈代报道了拉马努金的一个断言说所有宗教一样正确。卡尼盖尔(Robert Kanigel)的传记则称拉马努金可能不会给哈代看到他宗教的一面;另一方面来讲,卡尼盖尔通常描写哈代的负面形象。

拉马努金将他的理解归功于他的家族女神納馬吉里(毗濕奴的第四化身),并在他的工作中向她寻求灵感。他经常说:「一个方程对我没有意义,除非它代表了神的一个想法。」

数学成就[编辑]

在数学上,有洞察力和有一个证明是很不相同的。拉马努金天才的给出了大量的公式,可以再深入研究,开启了新的研究方向。这些公式的例子有圆周率的一些引人入胜的无穷级数,其中一个是:

 \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}

这和如下事实相关:

 e^{\pi \sqrt{58}} = 396^4 - 104.00000017...

他提出對所有θ

 \frac{1}{\left(1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{\cosh n\pi}\right)^2} + \frac{1}{\left(1+2\sum_{n=1}^\infty \frac{\cosh n\theta}{\cosh n\pi} \right)^2} = \frac {2 \Gamma^4 \left ( \frac{3}{4} \right )}{\pi}

此處Γ(z)代表伽瑪函數

比較恆等式兩邊θ之不同冪的係數,就可以得出雙曲正割的許多恆等式。

哈代这样评论拉马努金:

他的知识的缺陷和它的深刻一样令人吃惊。这是一个能够发现模方程和定理的人……直到前所未闻的地步,他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家,他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题的主导项;但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理,对复变函数只有最模糊的概念……

定理和发现[编辑]

这些包括拉马努金自己的发现,和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理

他也在下列领域做出重大突破和发现:

他的发现异常丰富;也就是说,很多发现比它们初看起来要丰富得多。

拉马努金猜想和它的作用[编辑]

虽然很多命题都可以称为拉马努金猜想,有一个特别适合这个称号,它在后续工作中非常有影响。拉马努金猜想是一个断言,这是关于τ-函数的系数大小的,而那是一个模形式理论中的典型尖形式(cusp form)。这在几十年后被证明为魏尔猜想的证明的一个结果;归约步骤是很复杂的。

拉马努金的笔记[编辑]

当他还在印度时,拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。结果被写下来,但没有推导。这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。Berndt在他对这些笔记和拉马努金的工作的评论中,感到拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明,只是选择了不做证明。

这种工作风格可能有几个原因。因为纸在那时很贵,拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明,然后只将结果转移到纸上。在当时的印度,使用写字板对于数学的学生来讲很常见。他也可能受一本書的影響——他大部分的高等数学知识的來源卡爾(G. S. Carr))《纯数学和应用数学概要》(Synopsis of Pure and Applied Mathematics),这是卡爾用来教授数学的。它总结了几千个结果,不带证明的给出了它们。最后,可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的;所以只记录了结果。(Berndt, 1998)

第一本笔记有351页,大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页,散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。他笔记本中的结果激发了大量论文,由后世企图证明他的发现的数学家所写。哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文,就像沃森(G. N. Watson)、威爾遜(B. M. Wilson)和伯恩特(Bruce Berndt)所作的一样。(Berndt, 1998)

評價[编辑]

拉马努金是印度在过去一千年中所出的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑,在他死后70多年。他的论文中埋藏的秘密依然在被挖掘出来。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。(引自卡尼盖尔所著传记《知無涯者:拉馬努金傳》第3页)

美国作家罗伯特·卡尼盖尔所著传记《知無涯者:拉馬努金傳》后被中国数学家,武汉大学前校长齐民友先生等翻译成中文。

軼事[编辑]

拉馬努金病重,哈代前往探望。哈代說:「我乘計程車來,車牌號碼是1729,這數真沒趣,希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道:「不,那是個有趣得很的數。可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中,1729是最小的。」(即1729 = 13+123 = 93+103,後來這類數稱為的士數。)利特爾伍德回應這宗軼聞說:「每個整數都是拉馬努金的朋友。」

参看[编辑]

延伸閱讀[编辑]

  • Collected Papers of Srinivasa Ramanujan ISBN 0-8218-2076-1
  • The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan by Robert Kanigel ISBN 0-671-75061-5(中譯本:《知無涯者:拉馬努金傳》;羅伯特‧卡尼蓋爾著;胡樂士、齊民友譯;上海科技教育出版社;2002)

参考資料[编辑]

  • An overview of Ramanujan's notebooks by Bruce C. Berndt, in Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe, Volume 2: Mathematical Arts, P. L. Butzer, H. Th. Jongen, and W. Oberschelp, editors, Brepols, Turnhout, 1998, pp. 119-146,(22 pg. pdf file
  • Modern Mathematicians, Harry Henderson, Facts on File Inc., 1996

外部链接[编辑]

  • The Ramanujan Journal
  • 探求「無限」奧秘的數學家 一Srinivasa Ramanujan,顏一清,數學傳播季刊第27卷 第3,4期[1][2]