方差

變異數（Variance），應用數學裡的專有名詞。在概率论和统计学中，一个随机变量的方差描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二階中心動差，恰巧也是它的二阶累积量。方差的算术平方根称为该随机变量的标准差。

定义

如果$\operatorname{E}(X)$是隨機變數 X 的期望值（平均數） 设$X$为服从分布$F$的随机变量，则称$Var(X):=\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^2 )=E(X^2)-E(X)^2$为随机变量$X$或者分布$F$的方差。

$\sigma^{2} =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 = \frac{1}{N} \left ( \sum_{i=1}^N x^2 - N\mu^2 \right )$

μ为平均数，N为样本总数。

特性

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间： L²(Ω, dP)，不过这裡的内积和长度跟方差，标准差还是不大一样。 所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间， 并且有一个从老空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是方差

一般化

如果X是一个向量其取值范围在實數空间Rⁿ，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(X − μ)(X − μ)^T]，其中μ = E(X)，X^T是X的转秩。这个方差是一个非负定的方阵，通常称为协方差矩阵。

如果X是一个複數随机变量的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)^*]，其中X^*是X的共轭转置向量或稱為埃尔米特向量。根据这个定义，變異數为实数。

历史

「方差」（variance）这个名词率先由羅納德·費雪（英语：Ronald Fisher）在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。

参考出处

1. ^ Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. (1986) Numerical recipes: The art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press. (online)

外部连接

• Fisher's original paperPDF