方差

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在概率论和统计学中，一个随机变量的方差（Variance）描述的是它的离散程度，也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩，恰巧也是它的二阶culmulent。方差的算术平方根称为该随机变量的标准差。

[编辑] 定义

设 $X$ 为服从分布 $F$ 的随机变量，则称 $V a r (X) = E (X - E X) 2$ 为随机变量 $X$ 或者分布 $F$ 的方差。

如果 $\mu = \operatorname{E}(X)$ 是隨機變數 X 的期望值 (平均數) , 則其變異數為: $\operatorname{var}(X) = \operatorname{E}( ( X - \mu ) ^ 2 ).$

[编辑] 特性

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间： L^2(Ω, dP)，不过这里的内积和长度跟方差，标准差还是不大一样。所以，我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间，也就是说把相差一个常数的所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间，并且有一个从老空间内积诱导出来的新内积，而这个内积就是方差

[编辑] 一般化

如果X是一个向量其取值范围在Rⁿ空间，并且其每个元素都是一个一维随机变量，我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广，其定义为E[(X − μ)(X − μ)^T], 其中 μ = E(X) ，X^T是X的转秩. 这个方差是一个非负定方阵，通常称为协方差矩阵。

如果X是一个复随机变量，那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)^*], 其中X^*是X的复共轭向量。根据这个定义，方差为实数。

[编辑] 历史

方差这个词首先由Ronald Fisher在论文The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance中引入.

[编辑] 参考出处

^ Press, W. H., Teukolsky, S. A., Vetterling, W. T. & Flannery, B. P. (1986) Numerical recipes: The art of scientific computing. Cambridge: Cambridge University Press. (online)

[编辑] 外部连接

Fisher's original paper (pdf format)

方差