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方差

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變異量(數)Variance),應用數學裡的專有名詞。在概率论统计学中,一个随机变量方差描述的是它的离散程度,也就是该变量离其期望值的距离。一个实随机变量的方差也称为它的二阶矩或二階中心動差,恰巧也是它的二阶累积量。方差的算术平方根称为该随机变量的标准差

定义[编辑]

设X为服从分布F的随机变量, 如果E[X]是隨機變數X期望值(平均數μ=E[X]
随机变量X或者分布F的方差為:

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]

這個定義涵蓋了連續、離散、或兩者都有的隨機變數。方差亦可當作是隨機變數與自己本身的共變異數:

\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X)

方差典型的標記有Var(X), \scriptstyle\sigma_X^2, 或是\sigma^{2},其表示式可展開成為:

\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] = \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 = \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2

上述的表示式可記為"平方的平均減掉平均的平方"

連續隨機變數[编辑]

如果隨機變數X是連續分布,並對應至機率密度函數f(x),則其方差為:

\operatorname{Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\, =\int x^2 \, f(x) \, dx\, - \mu^2

此處\mu是一期望值,

\mu = \int x \, f(x) \, dx\,

且此處的積分為以X為範圍的x定積分(definite integral)
如果一個連續分佈不存在期望值,如柯西分佈(Cauchy distribution),也就不會有方差。

離散隨機變數[编辑]

如果隨機變數X是具有機率質量函數的離散機率分佈x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn,則:

\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (p_i\cdot x_i^2) - \mu^2

此處\mu是其期望值, i.e.

\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i .

X為有N個相等機率值的平均分佈:

\operatorname{Var}(X) = \sigma^{2} =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \mu)^2 
= \frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\mu^2  \right)

N個相等機率值的方差亦可以點對點間的方變量表示為:

 \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2

特性[编辑]

方差不會是負的,因為次方計算為正的或為零:

\operatorname{Var}(X)\ge 0

一個常數隨機變數的方差為零,且當一個資料集的方差為零時,其內所有項目皆為相同數值:

P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{Var}(X)= 0

方差不變於定位參數的變動。也就是說,如果一個常數被加至一個數列中的所有變數值,此數列的方差不會改變:

\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X)

如果所有數值被放大一個常數倍,方差會放大此常數的次方倍:

\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X)

兩個隨機變數合的方差為:

\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),
\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\, \operatorname{Cov}(X,Y),

此數Cov(., .)代表共變異數

對於N個隨機變數\{X_1,\dots,X_N\}的總和:

\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j)

在样本空间Ω上存在有限期望和方差的随机变量构成一个希尔伯特空间: L2(Ω, dP),不过这裡的内积和长度跟方差,标准差还是不大一样。 所以,我们得把这个空间“除”常变量构成的子空间,也就是说把相差一个常数的 所有原来那个空间的随机变量做成一个等价类。这还是一个新的无穷维线性空间, 并且有一个从旧空间内积诱导出来的新内积,而这个内积就是方差

一般化[编辑]

如果X是一个向量其取值范围在實數空间Rn,并且其每个元素都是一个一维随机变量,我们就把X称为随机向量。随机向量的方差是一维随机变量方差的自然推广,其定义为E[(X − μ)(X − μ)T],其中μ = E(X),XTX的转置。这个方差是一个非负定方阵,通常称为协方差矩阵

如果X是一个複數随机变量的向量(向量中每個元素均為複數的隨機變數),那么其方差定义则为E[(X − μ)(X − μ)*],其中X*X共轭转置向量或稱為埃尔米特向量。根据这个定义,變異數为实数。

历史[编辑]

方差」(variance)这个名词率先由羅納德·費雪英语Ronald Fisher)在论文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance[1]中提出。

参考出处[编辑]

相关条目[编辑]