施图姆-刘维尔理论

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在数学及其应用中,以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆(1803–1855)和约瑟夫·刘维尔(1809–1882)的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程: \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[p(x)\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\right]+\lambda w(x)y(x)-q(x)y(x)=0

其中函数p(x)w(x)q(x)均为已知函数;y(x)为待求解函数,称为\lambda是一个未定常数。w(x)又记为\rho(x),称为权函数

在一个正则的施图姆-刘维尔(S-L)本征值问题中,在有界闭区间[a,b]上,三个系数函数p(x),w(x),q(x)应满足以下性质:

  • p(x)>0,w(x)>0
  • p(x),p'(x),w(x),q(x) 均连续;
  • y(x) 满足边界条件 \alpha_1 y(a)+\alpha_2 y'(a)=0\beta_1 y(b)+\beta_2 y'(b)=0\alpha_1^2+\alpha_2^2>0,\beta_1^2+\beta_2^2>0)。

只有一些恰当的\lambda能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解(非零解)。这些\lambda称为方程的本征值,对应的非平凡解称为本征函数,而本征函数的集合则称为本征函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中,引入埃尔米特算子,形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了本征值的存在性和渐进性,以及本征函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要,尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出:

  • 施图姆-刘维尔本征值问题,存在无限多个实数本征值,而且可以排序为:
\lambda_1<\lambda_2<\lambda_3<\cdots<\lambda_n<\cdots ,\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=\infty
  • 对于每一个本征值\lambda_n都有唯一的(已被归一化的)本征函数y_n(x),且y_n(x)在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中y_n(x)称为满足上述施图姆-刘维尔本征值问题的第n个基本解;
  • 已归一化的本征函数族在希尔伯特空间L^2([a,b],w(x)\mathrm{d}x)上有正交性和完备性,形成一组正交基
 \int_a^b y_n(x)y_m(x)w(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{mn}
其中\delta_{mn}克罗内克函数

一些函数的施图姆-刘维尔形式[编辑]

只要乘以一个恰当的积分因子,所有二次常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

x^2y''+xy'+(x^2-\nu^2)y=0\,
等价于:
(xy')'+(x-\nu^2/x)y=0.\,
(1-x^2)y''-2xy'+\nu(\nu+1)y=0\;\!
注意到 D(1 − x2) = −2x,因此等价于:
[(1-x^2)y']'+\nu(\nu+1)y=0\;\!
  • 使用积分因子的例子:
x^3y''-xy'+2y=0.\,
两边同时除以x3:
y''-{x\over x^3}y'+{2\over x^3}y=0
再乘以积分因子:
\mu(x) = e^{\int -{x / x^3}\,\mathrm{d}x}=e^{\int -{1 / x^2}\, \mathrm{d}x}=e^{1 / x},
得到:
e^{1 / x}y''-{e^{1 / x} \over x^2} y'+ {2 e^{1 / x} \over x^3} y = 0
又注意到:
D e^{1 / x} = -{e^{1 / x} \over x^2}
因此原方程等价于:
(e^{1 / x}y')'+{2 e^{1 / x} \over x^3} y =0.
  • 二阶常微分方程的一般形式:
P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,
两边同时乘以积分因子:
\mu(x) = {1 \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x},
整理后得到:
{d \over dx} (\mu(x)P(x)y')+\mu(x)R(x)y=0
或者把积分因子写出来:
{d \over dx} (e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x}y')+{R(x) \over P(x)} e^{\int {Q(x) / P(x)}\,\mathrm{d}x} y = 0