施尼勒尔曼密度

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A \subseteq \mathbb{Z}A(n) = |A \cap \{1, 2, \ldots , n \} |A中不大於n的元素的數目。施尼勒尔曼密度函數\sigma : \mathcal{P}( \mathbb{Z}) \to [0,1],或A的施尼勒尔曼密度定義為:

\inf_n \frac{A_n}{n}

其中inf表示最大下界。若使用\lim_{n \to \infty} \frac{A(n)}{n}(如自然密度),可能不存在極限,施尼勒尔曼密度的其中一個好處在於它總是有值的。

性質[编辑]

  • 0 \le \sigma A \le 1
  • \forall n\ A(n) \ge n \sigma A
  • \sigma A = 1 \leftrightarrow A = \N
  • \forall k \ k \notin A \rightarrow \sigma A \le 1-1/k.
特別地
1 \notin A \rightarrow \sigma A = 0
2 \notin A \rightarrow \sigma A \le 1/2
  • \sigma A=0 \rightarrow \forall \epsilon>0\ \exists n\ A(n) < \epsilon n

感覺上,奇數的數量似乎比偶數一樣「多」。可是,偶數的施尼勒尔曼密度是0,而奇數的是1/2。施尼勒尔曼密度對於起始值十分敏感。究竟,這樣的函數有甚麼用途?

Mann定理[编辑]

\mathfrak{G}^2 = \{k^2\}_{k=1}^{\infty}拉格朗日四平方和定理可以寫成 \sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 1,其中A\oplus B表示AB和集

顯然,\sigma \mathfrak{G}^2 = 0,另外也有\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 0。那麼施尼勒尔曼密度1是怎樣得來的呢?原來\sigma(\mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2 \oplus \mathfrak{G}^2) = 5/6。儘管只有一、兩個平方數集的和集的密度都是0,但之後和集的施尼勒尔曼密度會慢慢增加。

施尼勒尔曼指出:

\sigma(A \oplus B) \ge \sigma A  + \sigma B - \sigma A \cdot \sigma B

Mann證明了更強的條件:

\sigma(A \oplus B) \ge \min( \sigma A  + \sigma B , 1)