施瓦茨引理

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数学上,施瓦茨引理複分析关于定义在单位开圆盘全纯函数的一个结果,以赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨为名。

\Delta = \{z: | z | < 1\}複平面中的开圆盘,f:\Delta\to\Delta是全纯函数,并有f(0)=0。那么

 | f(z) | \le | z |

对所有在\Delta中的 z,以及 | f'(0) | \le 1。如果等式

 | f(z) |=| z |\,

对任意z≠0成立,或

 | f'(0) |=1\,

那么 f是一个旋转: f(z)=az,其中 | a |=1

这引理不及其他结果有名(例如黎曼映射定理,其证明有用到这引理),但是这是能显示全纯函数的严格性的一个简单结果。当然对于实函数没有类似的结果。

证明[编辑]

g(z) = \frac{f(z)}{z}.\,

函数g(z)在D内(除了0以外)全纯,由于f(0) = 0且f是全纯函数。设DrD内一个半径为r的闭圆盘。根据最大模原理,有:

 |g(z)| = \frac{|f(z)|}{|z|} \le \frac{|f(z_r)|}{|z_r|} \le \frac{1}{r}

对于所有Dr内的z和所有Dr的边界上的zr。当r趋于1时,我们便有|g(z)| ≤ 1。

而且,如果在D内存在某个z0,使得g(z0) = 1,那么把最大模原理应用于g,可得g是常数,因此f(z) = kz,其中k是常数且|k| = 1。这在当|f '(0)| = 1时也是正确的。

施瓦茨—皮克定理[编辑]

施瓦茨引理有一个版本是在单位圆盘的解析自同构(即单位圆盘的全纯双射)下不变。这称为施瓦茨-皮克定理

f:\Delta\to\Delta 全纯。那么,对所有z_1,z_2\in \Delta

\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right|
\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}

还有,对z\in\Delta

\frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2} \le
\frac{1}{1-\left|z\right|^2}.

以下表达式

 d(z_1,z_2)=\tanh^{-1}\left(\frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}\right)

庞加莱度量中两点 z_1,z_2 的距离。庞加莱度量就是二维双曲几何的庞加莱圆盘模型的度量。这定理的要点是把单位圆盘映射到自己的全纯函数减少各点间的庞加莱度量下的距离。若上两不等式有一式的等号成立,就是说全纯映射保持庞加莱度量下的距离,那么f一定是单位圆盘的解析自同构,由把圆盘映射到自己的莫比乌斯变换映射所给出。

一个对上半平面\mathbb{H}的相似的命题可记如下:

f:\mathbb{H}\to\mathbb{H}全纯。那么,对所有z_1,z_2\in \mathbb{H}

\left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{\overline{f(z_1)}-f(z_2)}\right|
\le \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|\overline{z_1}-z_2\right|}

还有,对所有z\in\mathbb{H}

\frac{\left|f'(z)\right|}{\mbox{Im }f(z)} \le
\frac{1}{\mbox{Im }(z)}.

若集中一式等号成立,那么f必是实係數的麦比乌斯转换,也就是说若等号成立则有

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

其中a,b,c,d是实数,及ad-bc>0

深入发展[编辑]

施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理给出对双曲流形的类似结果。

路易·德布朗热定理是一个重要推广。

参考[编辑]

  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3)