施瓦茨-克里斯托费尔映射

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数学複分析中,施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射複平面的变换,把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用,包括极小曲面流体力学中。施—克映射有一个缺陷,它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况,这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨

定义[编辑]

考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

 \{ \zeta \in \mathbb{C}: \operatorname{Im}\,\zeta > 0 \}

到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为\alpha,\beta,\gamma, ...,那么映射由下式给出:


f(\zeta) = \int^\zeta \frac{K}{(w-a)^{1-(\alpha/\pi)}(w-b)^{1-(\beta/\pi)}(w-c)^{1-(\gamma/\pi)} \cdots} \,\mbox{d}w

其中K常数a < b < c < ...\zeta平面的实轴上的点的值,对应z平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便,通常会考虑一种特殊情況,就是当\zeta平面的无穷远点映射到z平面的多边形其中一顶点(习惯是内角为\alpha的顶点)。如此,公式的第一个因式实际上是个常数,可以合併进K裡。

例子[编辑]

考虑z平面中的半无穷带。这可以视作顶点是P=0, Q=\pi iR三角形,当R趋向无穷大的极限情形。极限时有\alpha=0\beta=\gamma=\pi/2。假设我们要找映射f,有f(−1) = Qf(1) = P,和f(∞) = R,那么f

 f(\zeta) = \int^\zeta 
  \frac{K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}} \,\mbox{d}w \,

计算积分得到

 z = f(\zeta) = C + K \operatorname{arccosh}\,\zeta,

其中C是个(複)积分常数。条件f(-1) = Qf(1) = P给出C=0K=1。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是 z = \operatorname{arccosh}\,\zeta。下图描绘这个映射。

从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射

其它简单映射[编辑]

三角形[编辑]

到内角为\pi a\pi b\pi(1-a-b)三角形的映射是

z=f(\zeta)=\int^\zeta \frac{dw}{(w-1)^{1-a} (w+1)^{1-b}}

正方形[编辑]

从上半平面到正方形的映射是

z=f(\zeta) = \int^\zeta \frac {\mbox{d}w}{\sqrt{w(w^2-1)}}
=\sqrt{2} \, F\left(\sqrt{\zeta+1};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)

其中F\,是第一类不完全椭圆积分

广义三角形[编辑]

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.
  • Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
  • Darren Crowdy,[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions,Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007),142, 319.